Para mis amigos lectores a quienes les interesen los temas de Física y Matemática voy a proponer ahora un problema realmente difícil, ya que su resolución recorre varias áreas diferentes de esas ciencias. Aquí va:
Si se dispara un cañón en terreno llano horizontal, se sabe que apuntando con un ángulo de 45° se logra alcanzar la mayor distancia horizontal.
Ahora pregunto: ¿Con qué ángulo, medido respecto de la superficie horizontal, se debe apuntar el cañón para que la TRAYECTORIA sea la DE MAYOR LONGITUD posible, si la velocidad de salida de la bala no se puede cambiar?
Espero un resultado dentro del medio grado de precisión y una brevísima reseña de cómo lo han resuelto.
Si alguien tiene algo escrito que desee mostrar, puede generar un archivito jpg mediante una simple foto digital, enviármelo a
rdele@itba.edu.ar
y se lo publicaré en el blog.
El premio...? parecido al de las otras oportunidades pero un poco más atractivo:
"Gran Premio Prestigio Internacional - Solución de Problemas Difíciles 2009"
¡Suerte para todos!
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21 comentarios:
Puede ser 90º?
La mayor distancia horizontal se alcanza con un ángulo de 45º, respecto del terreno llano horizontal, pero si disparamos hacia arriba (ángulo 90º) la longitud le la trayectoria es la mayor puesto que la bala, que sale siempre a la misma velocidad, realiza una trayectoria de subida = a la de bajada (en vertical), o lo que es lo mismo, multiplicamos x2 la longitud del trayecto.
Ahora dime si me he ido de mucho, un saludo
En primer lugar, Carmen, bienvenida al blog. No recuerdo haberte visto antes por aquí.
Ahora vamos a los cálculos:
Es cierto que si disparas a 90° la longitud total es el doble de la longitud de subida. Pero, ¿cuál sería la razón de que esa, la asociada a 90 grados, fuese la mayor de todas?
Un saludo cordial.
Me llama mucho la atención que lo definas como un problema "realmente difícil", porque la formulación desde luego parece bastante sencilla...tengo curiosidad por conocer la solución.
Yo dispararía con un ángulo pequeño, digamos 22'5º (45º/2), para que cuando la bola volviera al suelo perdiese poca velocidad en el golpe, y siguiera rodando por ese terreno llano horizontal lo más lejos posible ... pero sospecho que esa trayectoria rodante no computa para la solución al problema, ¿verdad?
Saludos Roberto
je je... sería como en el golf...
Efectivamente, Víctor: no se computa el rodar después de caer.
Te puedo contar, sin dar muchas ayudas a los habituales competidores, que el problema es realmente difícil ya que el planteo está bastante lejos de lo que plantean los libros elementales de Física. Sin embargo, algunas partes de su solución están cerca de lo que plantean los libros medianamente elementales de Matemática. Llegando al final de su resolución emerge una dificultad inesperada que físicos e ingenieros resolverán con más probabilidad que los matemáticos, creo...
Supongo que te puedo dar una pista para un razonamiento "cualitativo" que pueda llegar a ser fructífero:
En cualquier libro puedes encontrar las fórmulas de altura máxima y alcance horizontal para cualquier ángulo de partida. Luego te haces un dibujito... y... bueno... no puedo hablar más. Pero, la verdad es que un análisis aproximado basado en el dibujito y en algunas cositas aprendidas en la escuela te pueden llevar a un error increíblemente pequeño en el resultado. Voy a tratar de poner, en su momento, también esa resolución aproximada que es notablemente precisa.
Saludos cordiales.
Trataré de buscar la solución de la forma que dices, pero creo que sólo puede ser una: los 90º que dice Carmen.
El motivo: si eliminas del cálculo la distancia que pudiera recorrer la bola después del disparo, en realidad estás dejando de computar una energía que procedía de ese disparo. Esto es, siempre que dispares la bala con un ángulo inferior a 90º, habrá energía del disparo que no se esté empleando para incrementar la distancia de la trayectoria en vuelo, que se esté "desperdiciando". Por otro lado, la fuerza de la gravedad es constante, por lo que realmente (y aunque no lo parezca) debe afectar igual a una bala que sube en vertical, que a una bala que siga un desplazamiento más horitonzal. Así que tienen que ser 90ª.
Pienso que la única posibilidad de que un ángulo inferior permitiese una trayectoria más larga sería que, al modo de los cañones modernos, se le comunicase a la bala en el disparo un movimiento rotatorio. Tengo entendido que eso alarga bastante la trayectoria, supongo que por cuestiones aerodinámicas.
Según mis calculos, parte matemáticos y finalmente por tanteo, me sale que la trayectoria máxima se obtiene con un ángulo de 56,5º.
Explico brevemente el problema, que como decía Roberto, no era precisamente facil, quiza si en su planteamiento, pero para nada en su resolución matematica:
-En primer lugar, tenemos las ecuaciones de la trayectoria en los ejes x e y, dependiendo del tiempo.
-Despejamos el tiempo y obtenemos una funcion y(x).
-Sabemos que un ds (es decir un trozo de la trayectoria muy pequeño), tiene una componente horizontal dx y una vertical dy, y que estas 3 forman un triangulo rectangulo. Luego sabemos que el cuadrado de ds es igual a la suma de los cuadrados de dx y dy.
-Esta expresion de ds la ponemos en función de dy/dx, que es la derivada de la función y(x) que habíamos obtenido previamente. Por lo tanto nos queda una expresión del tipo ds=f(x)dx. Integrando esta función entre 0 y la x maxima (facilmente calculable de la expresión y(x) para y=0) obtendríamos la longitud de la trayectoria.
-Hasta aqui es "facil", el problema es resolver esta integral 10 años después de salir de la universidad. Por suerte, es una integral que está en las tablas de integrales, aunque es necesario hacer un cambio de variable (todo bastante engorroso).
-Una vez hecho esto, se obtiene una expresión que depende del angulo de lanzamiento. Otro problema: Como saber cual es el máximo de esa función.
-Se hace la primera derivada con respecto al ángulo y se iguala a 0.
-Como he sido incapaz de resolver esa expresión, que incluye logaritmos y funciones trigonométricas, lo he hecho por el viejo modo del tanteo, llegando al entorno de los 56,5º. Puesto que la precisión es de medio grado, creo que este resultado estará dentro del margen de tolerancia.
Dos cosas mas:
-Estoy deseoso de saber la aproximación cualitativa de la que hablas, ya que la he estado pensando en ciertas alternativas sobre el dibujo y no he llegado a ninguna conclusión.
-Victor, me encantan tus razonamientos. Me parece muy interesanta el punto de vista de alguien de letras
Espero haberme ganado el distinguido galardon que premia este concurso.
Un saludo a todos
¡Felicitaciones Andrés! No solo tu resultado es exacto sino que también tu descripción del procedimiento es clarísima.
Así que te has ganado el "Gran Premio Prestigio Internacional - Solución de Problemas Difíciles 2009".
En cuanto al procedimiento aproximado: es muy simple, construyes un triángulo isósceles con el punto de partida, el de llegada y el vértice de la parábola. Luego calculas la longitud total de los lados iguales: eso aproxima bastante bien la longitud de la parábola. Maximizas por tanteos o analíticamente (que ahora se puede...) y, finalmente te da 54,5°. O sea un error bastante pequeño en vista de lo aparentemente tosco de la aproximación.
Esto me interesa enfatizarlo: En cierto sentido la Física siempre modeliza... o sea, aproxima una realidad por algo tratable matemáticamente y este caso sería un ejemplo más de esa forma de encarar los problemas.
Incluyo aquí un pequeño comentario para Víctor:
Es cierto que elegir 90° produce una longitud bastante grande, pero piensa en esto: si eliges 85° la bala llegará a una altura levemente menor pero avanzará bastante en dirección horizontal (cosa que antes no hacía) y así la longitud recorrida será mayor. Este razonamiento tiende a mostrar (aunque no demostrar!) que la elección de 90° no puede ser la óptima.
Saludos cordiales a todos los lectores.
Para Andrés, nuevamente:
¿Por qué no le cuentas brevemente a los lectores a qué te dedicas?
Yo arriesgaría que eres ingeniero o tal vez físico pero bien podrías ser matamático, aunque tu estilo no me parece que sea compatible con esta última opción.
Saludos cordiales.
A mi todas estas explicaciones técnicas me maravillan. No entiendo una palabra, pero me maravillan..
OK, Víctor. Pero la idea de hacer un triángulo con el punto final, el inicial y el punto más alto, sacando las fórmulas de algún libro y luego medir los lados oblicuos (por teorema de Pitágoras o haciendo un dibujo a escala) como una forma aproximada de hacer el cálculo... ¿esa la entiendes?
Un abrazo desde Buenos Aires.
Me parece un ejercicio maravilloso para mantener la mente vivita y coleando. Mis felicitaciones a todos y especialmente a Roberto por plantearlo y "picarnos" a intentar resolverlo.
Felicitaciones a todos los que lo intentaron, sobre todo al ganador de ese codiciado premio.
Sí la entiendo, es sorprendemente sencilla (para lo compleja que parece ser la solución exacta). Pero no des esas ideas, que hundes a media industria de las matemáticas... :) Saludos
Es que es así, Víctor: los físicos estamos siempre dispuestos a hacer aproximaciones y modelos porque la naturaleza es muy compleja para intentar descripciones exactas.
Como dice un fisico cotemporáneo especializado en turbulencia: "sabemos menos de cada centímetro cúbico del aire que respiramos que del interior del núcleo atómico".
Saludos para todos.
Estás en lo cierto, Roberto, soy ingeniero, por eso me interesaba tanto esa aproximación rápida de la que hablabas, ya que a diferencia de los matemáticos, una buena aproximación suele ser suficiente para nosotros (creo que todavía mas que los físicos).
Esta es una buena forma de desempolvar los conocimientos adquiridos durante la carrera, y que después de 10 años de profesión, donde las fórmulas que mas uso son Ctrl+C y Ctrl+V (o sea, copiar y pegar), se agradece que a uno lo pongan a prueba.
Un saludo a todos.
Añadir unicamente una "curiosidad" con respecto al problema, y que va al hilo de la solución que proponían Carmen y Victor.
Para un ángulo de lanzamiento de 90º, el tiempo de vuelo del proyectil es máximo.
Así es, Andrés. El tiempo de vuelo es máximo para 90°. Y otra curiosidad que surge del gráfico que está más arriba es que el ángulo de 90° es un mínimo "local" de la longitud de la trayectoria.
Esto está asociado con lo que yo le comentaba a Víctor días atrás:
si uno empieza a probar con 90° para ver la posibilidad de encontrar la longitud máxima, enseguida se da cuenta que con 85° sube casi hasta la misma altura pero avanza bastante en la dirección horizontal, y la longitud es presumiblemente mayor para 85° que para 90°.
Aclaración para los lectores: ese es el significado de mínimo "local", encontrar en un entorno pequeño de la elección de la variable valores mayores de la función bajo estudio. En este caso el mínimo "absoluto" es, naturalmente, 0° (el disparo horizontal desde altura cero no va a ninguna parte).
Saludos Andrés y muchas gracias por tu interés en estas cosas.
Los calculos necesarios para mandar una nave espacial a un planeta, no deben ser mucho más complicados que los que habéis manejado aquí, ¿verdad?
Je je...
En realidad, los de aquí son como siempre dices tú: dos folios de cuentas y un poquito de cálculo numérico para ver cuándo se obtiene un cero en una cuentita medio rara.
Los de la nave espacial son algo más complicados porque los planetas se mueven y, lo que es muy costoso en combustible, hay que atravesar primero la atmósfera densa de la Tierra dejando tanques de combustible vacíos por el camino... sin que le caigan a nadie en la cabeza.
Saludos cordiales desde Buenos Aires.
Que conste que no lo decía de broma... si prescindimos de los indudables problemas prácticos o técnicos asociados a la navegación espacial, el cálculo de las trayectorias, aunque resulte muy complejo por el numero de variables involucradas, supongo que se basará en fórmulas relativamente simples... Saludos Roberto
En cierto modo, sí... los principios son simples. Pero, verdaderamente, el hecho de que los planetas se mueven complica mucho los cálculos.
Te aclaro: no es un problema de adonde apuntar para dar a un blanco móvil sino que las atracciones de los cuerpos celestes sobre la nave van cambiando continuamente y eso le da una complejidad enorme a los cálculos que definen su trayectoria.
Saludos desde Buenos Aires.
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