jueves, 22 de diciembre de 2011

242. ¡Feliz Navidad!

Va un gran abrazo para todos mis lectores y mi deseo de una feliz Navidad y un excelente 2012 para todos.



lunes, 12 de diciembre de 2011

241. ¿Más cálculos...?

Les cuento que en esta época en la que debo escribir numerosos exámenes existen muchos bonitos problemas que se descartan ya sea porque algún profesor opina que es demasiado fácil o demasiado difícil o porque no va con el espíritu general de lo que debe evaluarse en determinada materia.
Aquí va uno de esos problemas para el que espero que resuelvan las siguientes preguntas:
1. Cuál es el resultado.
2. A qué nivel estaba destinado, ingreso universitario, Mecánica elemental (I año) o Mecánica más avanzada (II o III año).

El problema:

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre los últimos 10 metros de su trayectoria en la séptima parte del tiempo total de caída desde la terraza. Determine la altura H a la que se encuentra la terraza. Dé su resultado con tres cifras decimales.

miércoles, 7 de diciembre de 2011

240. Un problema para el fin de semana

Recientemente tomé un examen de Matemática donde puse un problema que enseguida les voy a transcribir. Lo interesante de ese problema no era su extrema dificultad, como quienes que me conocen podrían pensar, sino el hecho de que se lo podía resolver de muy distintas maneras ya que existían diferentes caminos según cómo se enfocara la situación que allí se planteaba. Así que, sin más trámite, se los muestro y espero sus respuestas con una breve descripción de cómo lo pensaron. Como siempre hay grandes premios para quienes acierten... en especial, esta vez, un Gran Súper Prestigio Internacional, por supuesto Atemporal, para dos personas: el primero en responder correctamente y el que ofrezca el fundamento más interesante, esto quiere decir, uno en el que yo no haya pensado... je je. Un comentario adicional: en este momento estamos empezando en la Argentina un fin de semana larguísimo, de cuatro días, así que recién el lunes leeré en detalle sus propuestas, aunque tal vez pueda darles un vistazo antes.
Suerte para todos y aquí va:

Ana y Bonifacio llegan a su casa y encuentran una torta de chocolate recién hecha. Ana se sirve una porción igual a un quinto de la torta y Bonifacio, una porción igual a un séptimo. Más tarde, van por otro pedazo más. De lo que ha quedado, Ana toma un quinto y Bonifacio un séptimo. Esta situación se repite varias veces hasta que sólo quedan unas miguitas.
Calcule qué fracción (o qué porcentaje) del total de la torta ha comido cada uno. Realice el cálculo por el método que crea más conveniente. Fundamente apropiadamente la validez del procedimiento elegido.

martes, 29 de noviembre de 2011

239. Verano en Buenos Aires

Como les conté en el párrafo anterior, pensaba tomar unas fotos que ilustraran sobre la primavera en Buenos Aires. Recorrí varias zonas que eran candidatas a presentar un buen aspecto pero los árboles que florecen en primavera ya habían dejado caer sus flores y en la plaza que recorrí estaba el jardinero renovando las plantitas. Con treinta grados a la sombra y un tanto frustrado retorné rápidamente al aire acondicionado de la oficina, pensando que lo que había visto era más bien "Verano en Buenos Aires".

Les muestro dos fotos del paseo y una más, tomada en otro momento, con su ampliación; lo que se ve en éstas no es una flor sino lo que técnicamente se denomina una inflorescencia. Hay una novela famosa (escrita en inglés) relacionada con ella, pero su título en castellano no lo deja saber. Así que tendrá un reconocimiento internacional invalorable y atemporal quien responda lo siguiente:

1. Cómo se llama la plantita.
2. El título de la novela y su autor.







viernes, 25 de noviembre de 2011

238. Primavera en Buenos Aires

Los lectores habituales ya han visto en las entradas 76 y 203 imágenes muy parecidas a la que se ve detrás del título del blog. Pero, inspirado en el comentario de Víctor a la entrada 237, va este cambio en el diseño como un anticipo de las fotos pedidas de la primavera en Buenos Aires. Les comento que ando con la cámara en el bolsillo así que es muy probable que pronto aparezca aquí algo más variado. Sobre el clima les agrego que estos últimos días han sido más bien de verano que de primavera: muy soleados y con temperaturas máximas algo por encima de los treinta grados.
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

miércoles, 23 de noviembre de 2011

237. Otoño en Madrid

Estas bellísimas fotos que nos muestran los colores del otoño en Madrid han sido tomadas por mi amigo Víctor cuyo muy interesante blog he citado aquí varias veces. Víctor ha tenido la enorme gentileza de cederme dos de las fotografías que recientemente ha publicado. ¡Muchas gracias!



jueves, 27 de octubre de 2011

lunes, 24 de octubre de 2011

235. Resolución del concurso

Historia del concurso

En el párrafo 227 publicado el 30 de agosto de 2011 dejé planteado un concurso sobre un tema de geometría.

En los comentarios del párrafo 229 mi gran amigo Fernando, quien anteriormente firmaba Coriolis, deja prácticamente la respuesta a los cuatro planteos propuestos y sugiere que algún lector complete los cálculos.

Por último en el párrafo 234 incluyo una ayuda gráfica para sugerir un camino hacia la resolución completa del problema.

Resolución del concurso

Teniendo en cuenta el tiempo transcurrido, creo que es el momento de publicar la solución del problema, que es la siguiente:

1. Caso N = 7. De la observación de la figura que contiene siete circulitos que se muestra en el párrafo 234, se deduce que sus diámetros son la tercera parte del diámetro del círculo mayor. Como la fórmula de la superficie (que no haría falta conocer...) forzozamente debe incluír el cuadrado del diámetro (teniendo en cuenta que las unidades de superficie se forman con el cuadrado de las unidades de longitud) la superficie de cada círculo menor es un noveno de la superficie del círculo mayor. Eso significa 36/9 = 4, en centímetros cuadrados.

2. Caso N = 4. De la figura que contiene cuatro circulitos en el párrafo 234 se deduce con un poco de trigonometría la fórmula propuesta por Fernando en el párrafo 229 (o alguna similar...) para el cociente entre el diámetro menor y el mayor. Elevándola al cuadrado se obtiene la relación entre la superficie del círculo menor y la del círculo mayor que da 0,171573. Luego 0,171573 multiplicado por 36 da aproximadamente 6,1766, en centímetros cuadrados.

3. La propuesta adicional sobre qué hacer para N (número de círculos menores) relativamente grande... pensemos en N mayor que 50: a mí se me ocurre que aquí se podría calcular primero qué fórmula tiene la superficie de un hexágono regular que circunscriba a un círculo de radio r y calcular ese valor de r suponiendo que en un círculo de 36 centímetros cuadrados caben exactamente N de esos hexágonos. El pequeño error que existe en ese procedimiento proviene de lo siguiente: al recubrir una circunferencia con hexágonos, si bien pueden encajar perfectamente entre sí, quedan unos "huequitos" junto al borde del círculo mayor.

4. La propuesta adicional sobre por qué hasta N = 8 la solución es relativamente simple pero se complica para valores superiores, en mi opinión se responde así: para N entre 1 y 8 basta observar las figuras que se muestran en el párrafo 234 para aceptar, dada su alta simetría, que son óptimas en cuanto al hecho de que no parece posible ubicar círculos más grandes que los dibujados ahí dentro de otro de superficie dada. A partir de 9 o tal vez de 10, como dice Fernado en el párrafo 229, aparece la opción (que se debería comprobar si es o no es posible) de poner dos círculos rodeados por una corona formada por los N-2 restantes u otras soluciones más complejas (tal vez asimétricas) para valores de N aún más grandes. Ahora bien, para valores muy grandes de N siempre se podría aproximar muy bien el resultado pedido con lo propuesto más arriba en el punto 3 de este mismo párrafo.

Pronto habrá otros concursos. Mantengan un poco de papel cerca y afilado el lápiz.

Va un abrazo para todos desde Buenos Aires.

jueves, 20 de octubre de 2011

234. Para resolver el problema del concurso

En el párrafo 227 dejé planteado un problema de geometría que tal vez requiera un poco más de información para que se pueda resolver. Así que esa información va más abajo en forma de dibujos.

Saludos a todos.















domingo, 16 de octubre de 2011

233. Dieciséis de octubre de 2007

Como mis lectores saben, hace ya bastante tiempo que abandoné la costumbre de escribir un largo texto cada vez que el blog recibía un nuevo millar de visitas y dejé esa posibilidad para los poco frecuentes momentos en que el contador pasa por números terminados en cuatro ceros. Pero hoy el blog cumple cuatro años desde un lejano 16 de octubre de 2007 y quiero escribir un breve párrafo. En aquella fecha tuve la audacia de empezar a relatar lo que pensaba sobre diferentes temas para una audiencia que en un principio era un concepto totalmente difuso en mi cabeza: "los lectores". Decía: bueno... alguien me leerá. Digo esto porque creo que también sería totalmente legítima la idea de algún autor de blogs que escribiera para sí mismo, y recorriendo internet he encontrado también alguna vez esa propuesta. Como les decía, yo siempre escribí para esos "lectores" a los que me refería más arriba. Ocurre que pasados estos cuatro años ahora puedo decir que escribo para "Mis Lectores", con mayúsculas, y puedo decir también que son "Mis Amigos" y que, naturalmente, han dejado de ser ese concepto difuso de aquella primera época. Y me gustaría agregar, parafraseando en el buen sentido a Serrat, que he dado con lo mejor de cada continente... y lo digo absolutamente en serio. No voy a nombrar ahora a cada uno de mis lectores habituales ya que, con un defecto que parece estar ligado a mi profesión, me olvidaría de dos o tres como quien se olvida un signo menos en una ecuación... ¡pero con diferentes consecuencias!, así que tan solo le digo a Cada Uno de Ustedes (o de Vosotros...) que los abrazo muy fuerte y que los llevo sobre mi corazón.

Roberto.

martes, 11 de octubre de 2011

232. Doce de octubre de 1492



Mientras recordamos esta fecha tan especial, va un abrazo para todos los lectores desde Buenos Aires.

lunes, 3 de octubre de 2011

231. Sobre el párrafo 219

En el párrafo 219 había puesto un link a un video de youtube que por alguna razón ya no existe, así que lo reemplacé por otro con la misma cantante, Sarah Brightman. Les relato esto por dos razones: no solo ocurre que, en mi opinión, este nuevo video es realmente muy bueno sino también pasa que aquel párrafo tenía comentarios, algunos muy específicos respecto de la versión que ahí estaba y algún amigo/comentarista tal vez quisiera cambiarlo o agregar algo. Espero que les guste la canción.

Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

jueves, 22 de septiembre de 2011

230. Triunfo de San Lorenzo

Pueden ver los tres goles del partido que ganó San Lorenzo 2 a 1 como visitante en el estadio mundialista de Vélez Sarsfield.
Esperemos que esto señale un cambio del funcionamiento del equipo en este campeonato.

(Después de que vean los goles pueden pasar a resolver el concurso del párrafo 227)

Abrazo desde Buenos Aires.

martes, 20 de septiembre de 2011

229. Comentarios sobre el concurso

Con respecto al concurso planteado en el párrafo 227, me gustaría comentar algunos detalles:

1. La propuesta principal, que dice:

"Se tiene un disco de 36 centímetros cuadrados de área dentro del cual deben ubicarse N discos menores, iguales, sin superponerse entre sí en parte alguna ni sobresalir del disco mayor. ¿Qué superficie máxima puede tener cada disco menor? Debe darse la solución para N = 4 y N = 7."

está dirigida a todo lector con ganas de sacar punta al lápiz y hacer un poco de geometría. Si alguien está embarcado en buscar la solución de esta propuesta y quiere hacer alguna consulta o buscar alguna ayudita, sería bueno que nos comentara (a mí y a los lectores) por donde va su razonamiento y qué dificultades va encontrando en el desarrollo.

2. Las otras dos propuestas, asociadas con el diseño del problema y con el grado de dificultad que se puede llegar a plantear a quien resuelve, más bien están dirigidas a lectores con cierta experiencia en el diseño y en la resolución de problemas de Matemática. Sus ideas, si bien resultarían en ayudas para la resolución de la propuesta principal, dado el tiempo transcurrido desde el planteo original, serían recibidas con agrado por todos.

Así que, me parece, puede haber actividades interesantes en torno al párrafo 227 para todos... ¡y no olviden los fabulosos premios!

Un abrazo a mis lectores desde Buenos Aires, ya en primavera.

viernes, 9 de septiembre de 2011

martes, 30 de agosto de 2011

227. ¿Más geometría?

Sí, otro acertijo geométrico a pedido de algunos lectores.

Se tiene un disco de 36 centímetros cuadrados de área dentro del cual deben ubicarse N discos menores, iguales, sin superponerse entre sí en parte alguna ni sobresalir del disco mayor. ¿Qué superficie máxima puede tener cada disco menor? Debe darse la solución para N = 4 y N = 7.

Propuestas adicionales:

1. En mi opinión, cuando N supera a 9 o 10 la solución se vuelve bastante complicada (por una razón que no puedo expresar aquí ya que sería una ayuda importante en la respuesta de lo planteado más arriba)... ¿alguien tiene alguna idea sobre qué hacer para N relativamente grande?

2. ¿Alguien podría comentar brevemente para los demás lectores la razón por la que para N entre 1 y 8 la solución es bastante más simple que para valores mayores?

Hay grandes premios para los que respondan cada una de las preguntas.

Suerte para todos.

lunes, 15 de agosto de 2011

226. Algo de geometría



Para obtener un importante premio, deberá responder qué porcentaje del disco mayor está cubierto por el conjunto de los cinco discos menores. Indique ese porcentaje con tres cifras decimales.

Como en otras ocasiones, el premio consiste en un título que el ganador podrá usar sin límite de tiempo, un premio atemporal, esta vez el de "Gran Geómetra Universal", válido aún fuera del Sistema Solar.

Mucha suerte para todos.

miércoles, 20 de julio de 2011

225. Día del amigo



Hoy en la Argentina se festeja el "Día del amigo". En su momento, la fecha se eligió (como en algunos otros países, pero no en todo el mundo) coincidente con la del primer alunizaje tripulado que, como todos recuerdan, fue el 20 de julio de 1969.

Entonces, en esta fecha tan especial quiero enviar un fuerte abrazo a todos los lectores del blog.

Ya que estamos en contacto, aprovecho también la oportunidad para pedirles disculpas por la escasez de texto producido desde aquí, en los últimos tiempos.

¡Feliz día!

Roberto.

jueves, 14 de julio de 2011

224. Concurso sobre problema de examen

Ayer a la tarde, mientras trataba de escribir un problema para examen surgió uno muy interesante, que ahora les propongo resolver.

Aquí va:

"Un pequeño objeto cae verticalmente al suelo desde una altura h, sin velocidad inicial. Para recorrer los primeros 10 metros de su recorrido tarda un tiempo T1 y para recorrer los últimos 10 metros de su recorrido tarda un tiempo T2.
Sólo se conoce el valor del cociente de esos tiempos, n = T1 / T2.
Halle el valor de h.
Dato: n = 7. La aceleración de la gravedad g no es dato."

Para poder evaluar apropiadamente los resultados pido a quienes envíen los suyos expresarlos en metros y con tres cifras decimales.

El premio para estos concursos ya fue comentado aquí alguna vez y está muy relacionado con el extraordinario prestigio internacional que obtienen sus ganadores.

Mucha suerte para todos.

miércoles, 13 de julio de 2011

223. Un interesante problema para mañana...

Les cuento que estuvo publicado aquí, por unos minutos, un problema para resolver pero me di cuenta que debo revisar unos detalles antes de publicarlo efectivamente, cosa que haré mañana jueves 14.

Les pido que tengan unas horas de paciencia.

Gracias.

lunes, 13 de junio de 2011

222. El volcán Puyehue



Desde hace unos días está en plena erupción el volcán Puyehue, ubicado en el sur de Chile. Esto ha traído muy graves consecuencias a las ciudades y pueblos ubicados relativamente cerca y que se encuentran respecto del volcán en la dirección que sopla el viento por la continua caída de ceniza. A mayores distancias el efecto no es muy notable a simple vista pero provoca la necesidad de suspender el tráfico aéreo debido a que la ceniza suspendida en la atmósfera es abrasiva y tiende a destruir las turbinas de los aviones. Hasta el momento ha habido cierres temporarios de aeropuertos en Chile, Argentina, Uruguay, Brasil y Paraguay. También hay noticias sobre suspensión de vuelos sobre Australia y Nueva Zelanda. En este último caso no tengo todavía datos sobre cómo llegó la ceniza a esos lugares. Ocurre que las partículas más pesadas son las que caen más cerca del punto donde se generan, pero las más livianas pueden llegar a la estratósfera (estratosfera sin acento para algunos de mis lectores...) y ser arrastradas por los fuertes vientos que hay a esas alturas. Como el viento predominantemente va de Oeste a Este en la estratósfera de cualquier lugar del mundo, me pregunto si la nube de ceniza ya dio toda la vuelta y llegó a Australia por el Oeste o, por alguna razón se movió en sentido diferente al habitual y llegó por el Pacífico o cruzando la Antártida. Si algun lector sabe algo me encantaría que lo comentara aquí.

Pueden ver fotos excelentes de la erupción en http://blogs.publico.es/mesadeluz/4195/el-volcan-puyehue
Una de esas fotos, de AFP PHOTO/CLAUDIO SANTANA, la he copiado al comienzo de esta entrada.

Por supuesto, tengo la cámara en el bolsillo por si veo algo interesante aquí. Sólo vemos por ahora un poquito grisáceo el cielo.

Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

sábado, 11 de junio de 2011

221. Satélite argentino



Pueden ver aquí la reseña del reciente lanzamiento del satélite argentino de investigación SAC-D/Aquarius desde la base Vandenberg en California, Estados Unidos.

viernes, 27 de mayo de 2011

220. Bach

Les acerco la Suite N°3 de Johann Sebastian Bach interpretada por la Amsterdam Baroque Orchestra dirigida por Ton Koopman.







jueves, 31 de marzo de 2011

219. Sarah Brightman

Una voz extraordinaria.

El video que estaba hasta hace poco aquí desapareció de youtube así que puse éste que también es una maravilla.

miércoles, 16 de marzo de 2011

218. Otra cultura...

Me he tomado la libertad de copiar aquí un artículo aparecido en la edición digital del diario La Nación:

Por qué no hay saqueos en Japón

Por Mariana Trigo Viera

"Ahora seguro suben los precios de los productos de primera necesidad", me dijo un amigo refiriéndose al desastre que hoy sigue viviendo Japón. "No creo, no los imagino haciendo eso", le contesté. Es que no se manejan de esa manera, frente a una catástrofe de esta magnitud. A ningún japonés se le ocurriría hacer negocio con la tragedia.

Para algunos será difícil de entender y a otros les generará hasta un poco de envidia, pero la realidad es que en Japón no hubo saqueos ni grandes disturbios tras los terremotos y posteriores tsunamis. De hecho, la policía sólo salió a las calles a rescatar ancianos, niños y ayudar a los más damnificados. No fue necesario que marcaran los límites porque cada uno de los ciudadanos tiene bien en claro cuáles son.

La sociedad nipona tiene un pensamiento de tipo grupal y eso es una gran virtud en momentos como este. No hay espacio para el individualismo. La prioridad siempre es el otro y eso lo viví en vivo y en directo muchísimas veces, cuando se desvivían por ayudarme al verme cara de extranjera. Esa manera de pensar es la que los ayuda hoy más que nunca, es la que les permite darse cuenta que si hacen algo que perjudique al otro, se están perjudicando a ellos mismos.

Se me ocurre una pregunta: ¿Sabrán qué quiere decir la palabra "saqueo"? Digo, porque nosotros no necesitamos de un terremoto para experimentarlo. No sé si sabrán qué quiere decir, pero lo que sí saben seguro, es lo que significa vivir una catástrofe. De hecho varias generaciones de japoneses ya las han experimentado.

Pero. ¿dónde aprendieron a ser tan calmos, tan correctos? Me acuerdo que durante mi estadía, esa actitud muchas veces me llegó a poner hasta nerviosa, pero hoy los admiro, y me animaría a decir que no en cualquier otra parte del mundo sucede esto. "Y qué querés, son del primer mundo", me contestarían muchos de ustedes. Creo que esta reacción no tiene que ver exclusivamente con el nivel de confort en el que viven, aunque reconozco que el no pasar hambre influye bastante. El respeto hacia el prójimo en absolutamente todas sus facetas y frente a cualquier escenario es parte de la idiosincrasia japonesa; es como si lo llevaran en su ADN.

Sin embargo, a pesar de haber vivido allá y de creer que los conozco bastante, me sigo sorprendiendo de sus conductas. Hoy Japón tiene problemas muy graves: las continúas réplicas, los tsunamis, la amenaza nuclear, el dolor, el miedo y otras tantas cosas; pero hay algo que tiene a favor y siempre lo tendrán, se tienen a ellos mismos. Mientras cada japonés se comporte en pos del grupo y del bien común, Japón seguirá caminando... y casi sin darse cuenta, nos están dando una lección a muchos de nosotros.

lunes, 14 de marzo de 2011

217. Japón


Publicado por Liniers en el diario La Nación.

miércoles, 23 de febrero de 2011

216. Los números primos




Nuestro amigo Víctor plantea en un comentario al párrafo anterior estas interesantes preguntas:


"Tengo entendido que hay matemáticos que se dedican a buscar números primos, lo que me sugiere que la "aparición" de tales números no sigue una pauta regular.

1º ¿Estoy en lo cierto, o, por el contrario, los números primos SI que se encuentran ordenados de forma regular?

2º En caso de que NO sigan una pauta regular: ¿por qué es así?

3º Y por último (para conocer cuál es la mecánica de esa búsqueda): ¿qué procedimiento tendríamos que seguir para encontrar los números primos que existan entre, por ejemplo, los números 4.000 y 14.000?"

Voy a tratar de responder aquí hasta donde yo sé, pero los lectores que deseen proponer sus ideas serán bienvenidos.

Los números primos son aquellos números enteros que no poseen divisores que produzcan un cociente entero y exacto. Obviamente se exceptúa de la regla la división por el mismo número y por el número 1, que siempre producen un número entero. Se llaman compuestos a los enteros que no son primos. Si, por ejemplo, se parte del número 2 y se suma 2 repetidas veces para producir 4, 6, 8, ... todos estos números son compuestos con excepción del primero de la serie que es primo: el 2. El siguiente número, 3, no está en la sucesión anterior (no es múltiplo de 2) y, por lo tanto, es primo. Igual que antes, sumamos 3 repetidas veces para encontrar 6, 9, ... que son todos compuestos salvo el primero (el 3). Ahora el 4 no puede usarse porque está en la sucesión del 2 y hay que pasar al 5, el que por no estar en sucesión anterior alguna, es primo, igual que antes, sumamos... etc etc.
Como se ve, los compuestos están perfectamente ordenados en sucesiones muy fáciles de formar. Los primos serían los "huecos" del conjunto de todas esas sucesiones y nadie conoce un ordenamiento que los incluya en su totalidad. Pero pienso que no hay una razón "de principio" que impida la existencia de un tal ordenamiento. Esto querría decir que propuesto un cierto número (por ejemplo 2011) se podría responder inmediatamente si es o no primo.
Por el momento, saber si un número es primo o no, requiere dividirlo por los primos anteriores... aunque no todos, por lo siguiente: cuando se divide un número por otro para obtener un cociente entero y un "resto" también entero, puede pasar que el cociente sea mayor o menor que el divisor. Por ejemplo: 6 dividido 2 da 3 y 6 dividido 3 da 2. Si el resto ha dado cero para una división con un divisor menor que la raíz cuadrada del número, volverá a dar cero con un divisor mayor que esa raíz cuadrada, y si nunca el resto dio cero con los divisores menores que la raíz cuadrada, nunca dará cero. Entonces basta probar con divisores menores que la raíz cuadrada del número. Para los números del 1 al 100 hay que probar con los divisores 2, 3, 5 y 7 y para los números del 1 al 1000 hay que probar a dividirlos por los primos hasta el 31.
Para lo propuesto por Víctor en su punto 3, habría que probar a dividir los números del 4000 al 14000 por divisores que, para los cercanos al 4000, serían los primos menores que el 61(incluyendo éste) y ya para los cercanos al 14000 habría que extenderse hasta el 113. Por supuesto, se encuentran en Internet tablas de números primos y programitas rápidos que responden si un cierto número es primo o no.
En resumen, no existe un algoritmo "breve" para detectar si un número es primo o no ya que, cuando se proponen números relativamente "grandes", el número de divisores a probar también es "grande" pero, desde luego, los sistemas informáticos realizan este proceso a gran velocidad.
Un inesperado beneficio colateral del estudio de los números primos consiste en que el moderno trabajo sobre claves secretas y encriptación de la información se basa en los teoremas que se han ido obteniendo en ese estudio.
Los interesados en estos temas pueden empezar poniendo en un buscador de Internet, por ejemplo, la frase "Máquina Enigma".

Ilustra esta entrada la excelente foto de una máquina Enigma, tomada por Víctor en el Deutsches Museum de Berlín.

Si algún lector desea agregar algo, como ya dije, es bienvenido.

Saludos a todos.

miércoles, 16 de febrero de 2011

215. Sobre el concurso

Ayer por la tarde recibí en persona una respuesta correcta al concurso del párrafo 214 y le dije a los autores que la subieran al blog. A los pocos minutos eso hicieron e inmediatamente me llegó el correo con el texto del comentario como siempre ocurre. Cuando miro el blog no encuentro ese comentario con la respuesta. A veces ocurre al revés: el comentario está pero el correo de confirmación demora unos minutos, así que decidí esperar un poco a ver qué pasaba. Hoy al mediodía encuentro una respuesta correcta en el blog y también su correo de confirmación, pero de otros autores. ¿Qué ocurrió con el primer comentario? bueno, todos saben que el autor de un comentario puede borrarlo pero queda un mensaje que dice "este comentario ha sido suprimido por el autor" (se entiende que se refiere al autor del comentario). Ahora bien, sólo el autor del blog puede retirar ese mensaje y lograr que el comentario desaparezca definitivamente cosa que, obviamente, yo no hice. Así que decidí transcribir en esta entrada los dos comentarios, tomándolos de mi correo, aunque el segundo como les decía está también en el párrafo anterior.

Por supuesto, felicito a los dos grupos de dos autores y les otorgo a los cuatro el premio correspondiente que es, como se anticipa en el párrafo 204, un "Prestigio Internacional" como importantes y eficientes solucionadores de problemas. Los autores han puesto sus nombres al final de sus propuestas y ahí pueden verlos.

¿A alguno de mis lectores le ha ocurrido anteriormente eso de la inexplicable desaparición de un comentario?

Ah! olvidaba decir que los cuatro autores son excelentes alumnos del Instituto Tecnológico de Buenos Aires y que específicamente han sido alumnos míos en varias oportunidades.

Primera respuesta

Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":

La solucion al acertijo es 4032.

Si se toman los numeros del 4000 al 9999

M C D U
6 9 8 7

Y si tomamos del 10000 al 14000

DM M C D U
1 3 8 7 6

DM decena de millar
M millar
D decena
C centena
U unidad

Sabiendo que cada una de ellas puede tomar los valores indicados mas arriba, se multiplica y se suma 6x9x8x7+1x3x8x7x6 y se obtiene el valor deseado.

4032

Saludos!

Resuelto por:
Santiago Prats
Cristian Greco



Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 19:31


Segunda respuesta

Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":

La respuesta es 4032.

Desde 4000 a 9999:
6 * 9 * 8 * 7 = 9! / 5! = 3024
Desde 10000 a 14000:
1 * 3 * 8 * 7 * 6 = 1008
1008 + 3024 = 4032

Un abrazo Roberto.

Oxoby
Lerendegui



Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 23:39

jueves, 10 de febrero de 2011

214. ¡A contar!

Este nuevo acertijo requiere que el lector determine cuántos números enteros entre el 4000 y el 14000 carecen de cifras repetidas.
Un premio fabuloso aguarda al ganador según el texto del párrafo 204 del blog.

¡Suerte para todos!

miércoles, 2 de febrero de 2011

213. ¡A pensar!

Hace tiempo que los lectores especialistas en Física o Matemática no logran superar a los lectores especialistas en otros temas en la resolución de pequeños acertijos de Física o Matemática. Así que tendrán ahora su oportunidad. Si no la aprovechan... luego no se quejen.

Se desea diseñar un tablero al estilo del tablero de ajedrez, cuadrado y con casillas todas idénticas, también cuadradas.
¿Cuántas casillas en total tendrá un tablero así diseñado, si se exige que (casi exactamente) una de cada seis, o sea el 16,6%, esté en contacto con el borde del tablero?

Los premios a estos concursos se detallan en el párrafo 204.

Mucha suerte para todos.

lunes, 31 de enero de 2011

212. Misterio...

Hay quienes llevan una libretita en el bolsillo para anotar asuntos que deben recordar. Yo llevo una hojita de papel que doblada en cuatro tiene el tamaño apropiado. Entre otras cosas anoto ahí qué puedo llegar a poner en el blog. El sábado estaba pasando unos pocos renglones a una hojita nueva mientras escuchaba la radio donde había un programa de música. Recuerdo que eran las 21:30, aproximadamente, y yo anotaba: Laura Branigan - Gloria. Luego de las noticias, a las 21:35, el conductor del programa empieza con algo así como (posiblemente leyendo de la wikipedia): una cantante estadounidense... y habla como tres minutos). ¿Que pone al aire? Pues, Laura Branigan - Gloria. Como dicen los matemáticos, probabilidad cero. Pero así fue y todavía no lo puedo creer.
Aquí está, para ustedes.



Gloria

Umberto Tozzi, Giancarlo Bigazzi, Trevor Veitch


Gloria
You're always on the run now
Runnin' after somebody
You've gotta get him somehow

I think you've got to slow down
Before you start to blow it
I think you're headin' for a breakdown
So be careful not to show it

You really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
Don't you think you're falling?
If everybody wants you
Why isn't anybody calling?

You don't have to answer
Leave them hanging on the line
Calling Gloria

Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under

But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
How's it gonna go down?
Will you meet him on the main line?
Or will you catch him on the rebound?

Will you marry for the money?
Take a lover in the afternoon?
Feel your innocence slipping away
Don't believe it's coming back soon

And you really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under

But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

lunes, 17 de enero de 2011

jueves, 13 de enero de 2011

210. Para empezar el año...

... con cierto optimismo.



Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

miércoles, 5 de enero de 2011

209. La solución

En el párrafo 205 les proponía un acertijo que decía:

"Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden."

Y en uno de los comentarios del párrafo 204 (donde estaba propuesto otro problema) yo les sugería un posible camino para hallar la solución:

"En cierta clase de problemas matemáticos hay algo intermedio entre lo que podríamos llamar "resolver por tanteos" (que es algo legítimo, sin dudas) y "encontrar la fórmula cerrada" (es decir, donde metes el dato y te da el resultado). Esa posibilidad intermedia es "encontrar una relación de recurrencia" es decir, una fórmula que te permita calcular por ejemplo cuántas disposiciones distintas habría para "n" unidades de longitud conocida la cantidad de disposiciones que hay para alguna (O ALGUNAS) de las anteriores: n-1... etc.
Luego de eso se aplicaría la fórmula de recurrencia partiendo de algún valor (O VALORES) conocido/s, generalmente muy pequeño y fácil de calcular por tanteos."

Bueno, sobre la base de esta idea aquí va la solución:

Supongamos que se conocen todas las posibles disposiciones diferentes para cualquier longitud que nos propongamos estudiar pero solo hasta cierto valor "(n-1)". Recordemos que se había adoptado, para simplificar, tomar la unidad de longitud igual a dos metros. Deseamos ahora calcular cuántas disposiciones diferentes habrá para una longitud "n". La idea es pensar cuál sería el último vehículo que colocaríamos:
a) Si es una moto (de 1 unidad de longitud), con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-1) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la moto (que no agrega opciones).
b) Si es un auto (de 2 unidades de longitud), con él puesto obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-2) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia del auto (que no agrega opciones).
c) Si es una camioneta (de 3 unidades de longitud) con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-3) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la camioneta (que no agrega opciones).
En términos matemáticos, si llamamos a la incógnita del problema "a(n)" esto es, el número de disposiciones hasta una longitud "n", se tiene:
a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3), donde el paréntesis representa "asociado con..." o "función de...". Aquí se suman esos valores ya que en el último lugar o bien se pone una moto o un auto o una camioneta.
Como a(1), a(2) y a(3) son fáciles de calcular por tanteos y resultan ser: 1, 2 y 4, se pueden calcular los siguientes haciendo la cuenta, esto es, sumando siempre los tres anteriores.
Y se obtiene: a(4) = 7, a(5) = 13, a(6) = 24, continuando así hasta obtener el valor pedido que es: a(12) = 927.
Si el valor pedido hubiera sido uno muy alejado de los primeros existe para esa posibilidad un método alternativo (mucho más difícil) que da... digamos... automáticamente el valor de a(n) aun si se ignora el valor de los anteriores (pero sí se conoce el de los tres primeros de esa sucesión, claro... porque ellos son los que definen siempre el resultado a obtener).
Para los interesados en saber algo más sobre este tema, les cuento que aquí usé una notación, a(n), que no es la habitual de los libros. Ahí encontrarán simplemente la letra a con el subíndice n para representar los términos de la sucesión, y el título que pueden encontrar es "Sucesiones definidas por recurrencia" o "Ecuaciones de recurrencia".
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.