jueves, 27 de octubre de 2011

lunes, 24 de octubre de 2011

235. Resolución del concurso

Historia del concurso

En el párrafo 227 publicado el 30 de agosto de 2011 dejé planteado un concurso sobre un tema de geometría.

En los comentarios del párrafo 229 mi gran amigo Fernando, quien anteriormente firmaba Coriolis, deja prácticamente la respuesta a los cuatro planteos propuestos y sugiere que algún lector complete los cálculos.

Por último en el párrafo 234 incluyo una ayuda gráfica para sugerir un camino hacia la resolución completa del problema.

Resolución del concurso

Teniendo en cuenta el tiempo transcurrido, creo que es el momento de publicar la solución del problema, que es la siguiente:

1. Caso N = 7. De la observación de la figura que contiene siete circulitos que se muestra en el párrafo 234, se deduce que sus diámetros son la tercera parte del diámetro del círculo mayor. Como la fórmula de la superficie (que no haría falta conocer...) forzozamente debe incluír el cuadrado del diámetro (teniendo en cuenta que las unidades de superficie se forman con el cuadrado de las unidades de longitud) la superficie de cada círculo menor es un noveno de la superficie del círculo mayor. Eso significa 36/9 = 4, en centímetros cuadrados.

2. Caso N = 4. De la figura que contiene cuatro circulitos en el párrafo 234 se deduce con un poco de trigonometría la fórmula propuesta por Fernando en el párrafo 229 (o alguna similar...) para el cociente entre el diámetro menor y el mayor. Elevándola al cuadrado se obtiene la relación entre la superficie del círculo menor y la del círculo mayor que da 0,171573. Luego 0,171573 multiplicado por 36 da aproximadamente 6,1766, en centímetros cuadrados.

3. La propuesta adicional sobre qué hacer para N (número de círculos menores) relativamente grande... pensemos en N mayor que 50: a mí se me ocurre que aquí se podría calcular primero qué fórmula tiene la superficie de un hexágono regular que circunscriba a un círculo de radio r y calcular ese valor de r suponiendo que en un círculo de 36 centímetros cuadrados caben exactamente N de esos hexágonos. El pequeño error que existe en ese procedimiento proviene de lo siguiente: al recubrir una circunferencia con hexágonos, si bien pueden encajar perfectamente entre sí, quedan unos "huequitos" junto al borde del círculo mayor.

4. La propuesta adicional sobre por qué hasta N = 8 la solución es relativamente simple pero se complica para valores superiores, en mi opinión se responde así: para N entre 1 y 8 basta observar las figuras que se muestran en el párrafo 234 para aceptar, dada su alta simetría, que son óptimas en cuanto al hecho de que no parece posible ubicar círculos más grandes que los dibujados ahí dentro de otro de superficie dada. A partir de 9 o tal vez de 10, como dice Fernado en el párrafo 229, aparece la opción (que se debería comprobar si es o no es posible) de poner dos círculos rodeados por una corona formada por los N-2 restantes u otras soluciones más complejas (tal vez asimétricas) para valores de N aún más grandes. Ahora bien, para valores muy grandes de N siempre se podría aproximar muy bien el resultado pedido con lo propuesto más arriba en el punto 3 de este mismo párrafo.

Pronto habrá otros concursos. Mantengan un poco de papel cerca y afilado el lápiz.

Va un abrazo para todos desde Buenos Aires.

jueves, 20 de octubre de 2011

234. Para resolver el problema del concurso

En el párrafo 227 dejé planteado un problema de geometría que tal vez requiera un poco más de información para que se pueda resolver. Así que esa información va más abajo en forma de dibujos.

Saludos a todos.















domingo, 16 de octubre de 2011

233. Dieciséis de octubre de 2007

Como mis lectores saben, hace ya bastante tiempo que abandoné la costumbre de escribir un largo texto cada vez que el blog recibía un nuevo millar de visitas y dejé esa posibilidad para los poco frecuentes momentos en que el contador pasa por números terminados en cuatro ceros. Pero hoy el blog cumple cuatro años desde un lejano 16 de octubre de 2007 y quiero escribir un breve párrafo. En aquella fecha tuve la audacia de empezar a relatar lo que pensaba sobre diferentes temas para una audiencia que en un principio era un concepto totalmente difuso en mi cabeza: "los lectores". Decía: bueno... alguien me leerá. Digo esto porque creo que también sería totalmente legítima la idea de algún autor de blogs que escribiera para sí mismo, y recorriendo internet he encontrado también alguna vez esa propuesta. Como les decía, yo siempre escribí para esos "lectores" a los que me refería más arriba. Ocurre que pasados estos cuatro años ahora puedo decir que escribo para "Mis Lectores", con mayúsculas, y puedo decir también que son "Mis Amigos" y que, naturalmente, han dejado de ser ese concepto difuso de aquella primera época. Y me gustaría agregar, parafraseando en el buen sentido a Serrat, que he dado con lo mejor de cada continente... y lo digo absolutamente en serio. No voy a nombrar ahora a cada uno de mis lectores habituales ya que, con un defecto que parece estar ligado a mi profesión, me olvidaría de dos o tres como quien se olvida un signo menos en una ecuación... ¡pero con diferentes consecuencias!, así que tan solo le digo a Cada Uno de Ustedes (o de Vosotros...) que los abrazo muy fuerte y que los llevo sobre mi corazón.

Roberto.

martes, 11 de octubre de 2011

232. Doce de octubre de 1492



Mientras recordamos esta fecha tan especial, va un abrazo para todos los lectores desde Buenos Aires.

lunes, 3 de octubre de 2011

231. Sobre el párrafo 219

En el párrafo 219 había puesto un link a un video de youtube que por alguna razón ya no existe, así que lo reemplacé por otro con la misma cantante, Sarah Brightman. Les relato esto por dos razones: no solo ocurre que, en mi opinión, este nuevo video es realmente muy bueno sino también pasa que aquel párrafo tenía comentarios, algunos muy específicos respecto de la versión que ahí estaba y algún amigo/comentarista tal vez quisiera cambiarlo o agregar algo. Espero que les guste la canción.

Un abrazo a todos desde Buenos Aires.