lunes, 31 de enero de 2011

212. Misterio...

Hay quienes llevan una libretita en el bolsillo para anotar asuntos que deben recordar. Yo llevo una hojita de papel que doblada en cuatro tiene el tamaño apropiado. Entre otras cosas anoto ahí qué puedo llegar a poner en el blog. El sábado estaba pasando unos pocos renglones a una hojita nueva mientras escuchaba la radio donde había un programa de música. Recuerdo que eran las 21:30, aproximadamente, y yo anotaba: Laura Branigan - Gloria. Luego de las noticias, a las 21:35, el conductor del programa empieza con algo así como (posiblemente leyendo de la wikipedia): una cantante estadounidense... y habla como tres minutos). ¿Que pone al aire? Pues, Laura Branigan - Gloria. Como dicen los matemáticos, probabilidad cero. Pero así fue y todavía no lo puedo creer.
Aquí está, para ustedes.



Gloria

Umberto Tozzi, Giancarlo Bigazzi, Trevor Veitch


Gloria
You're always on the run now
Runnin' after somebody
You've gotta get him somehow

I think you've got to slow down
Before you start to blow it
I think you're headin' for a breakdown
So be careful not to show it

You really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
Don't you think you're falling?
If everybody wants you
Why isn't anybody calling?

You don't have to answer
Leave them hanging on the line
Calling Gloria

Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under

But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
How's it gonna go down?
Will you meet him on the main line?
Or will you catch him on the rebound?

Will you marry for the money?
Take a lover in the afternoon?
Feel your innocence slipping away
Don't believe it's coming back soon

And you really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under

But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?

lunes, 17 de enero de 2011

jueves, 13 de enero de 2011

210. Para empezar el año...

... con cierto optimismo.



Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

miércoles, 5 de enero de 2011

209. La solución

En el párrafo 205 les proponía un acertijo que decía:

"Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden."

Y en uno de los comentarios del párrafo 204 (donde estaba propuesto otro problema) yo les sugería un posible camino para hallar la solución:

"En cierta clase de problemas matemáticos hay algo intermedio entre lo que podríamos llamar "resolver por tanteos" (que es algo legítimo, sin dudas) y "encontrar la fórmula cerrada" (es decir, donde metes el dato y te da el resultado). Esa posibilidad intermedia es "encontrar una relación de recurrencia" es decir, una fórmula que te permita calcular por ejemplo cuántas disposiciones distintas habría para "n" unidades de longitud conocida la cantidad de disposiciones que hay para alguna (O ALGUNAS) de las anteriores: n-1... etc.
Luego de eso se aplicaría la fórmula de recurrencia partiendo de algún valor (O VALORES) conocido/s, generalmente muy pequeño y fácil de calcular por tanteos."

Bueno, sobre la base de esta idea aquí va la solución:

Supongamos que se conocen todas las posibles disposiciones diferentes para cualquier longitud que nos propongamos estudiar pero solo hasta cierto valor "(n-1)". Recordemos que se había adoptado, para simplificar, tomar la unidad de longitud igual a dos metros. Deseamos ahora calcular cuántas disposiciones diferentes habrá para una longitud "n". La idea es pensar cuál sería el último vehículo que colocaríamos:
a) Si es una moto (de 1 unidad de longitud), con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-1) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la moto (que no agrega opciones).
b) Si es un auto (de 2 unidades de longitud), con él puesto obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-2) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia del auto (que no agrega opciones).
c) Si es una camioneta (de 3 unidades de longitud) con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-3) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la camioneta (que no agrega opciones).
En términos matemáticos, si llamamos a la incógnita del problema "a(n)" esto es, el número de disposiciones hasta una longitud "n", se tiene:
a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3), donde el paréntesis representa "asociado con..." o "función de...". Aquí se suman esos valores ya que en el último lugar o bien se pone una moto o un auto o una camioneta.
Como a(1), a(2) y a(3) son fáciles de calcular por tanteos y resultan ser: 1, 2 y 4, se pueden calcular los siguientes haciendo la cuenta, esto es, sumando siempre los tres anteriores.
Y se obtiene: a(4) = 7, a(5) = 13, a(6) = 24, continuando así hasta obtener el valor pedido que es: a(12) = 927.
Si el valor pedido hubiera sido uno muy alejado de los primeros existe para esa posibilidad un método alternativo (mucho más difícil) que da... digamos... automáticamente el valor de a(n) aun si se ignora el valor de los anteriores (pero sí se conoce el de los tres primeros de esa sucesión, claro... porque ellos son los que definen siempre el resultado a obtener).
Para los interesados en saber algo más sobre este tema, les cuento que aquí usé una notación, a(n), que no es la habitual de los libros. Ahí encontrarán simplemente la letra a con el subíndice n para representar los términos de la sucesión, y el título que pueden encontrar es "Sucesiones definidas por recurrencia" o "Ecuaciones de recurrencia".
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.