En primer lugar muchas gracias a CE, Víctor y Coriolis por participar.
Debo decir que cuando se habla de "estimar" en Física o en Matemática se presupone un cálculo aproximado sobre la base de las características mas relevantes del problema o experimento o fenómeno natural propuesto.
En ese sentido, son las tres propuestas excelentes aproximaciones.
La de Víctor, que traducida al lenguaje usado por los otros dos participantes, sería: 100 * (r/R) es excepcional por su sencillez, pero, a mi entender, subestima levemente el porcentaje pedido que yo estimo entre los siguientes valores: porcentaje mínimo = 400 * (r/R) y porcentaje máximo = 500 * (r/R)
La de CE y la de Coriolis son muy buenas estimaciones.
La de Coriolis subestima levemente el número total de esferitas por la razón que él mismo expresa en su texto y la de CE sobreestima levemente el número total de esferitas cuando divide el volumen total disponible por el volumen de una de ellas.
Dicho en lenguaje llano: En la respuesta de Coriolis los huecos entre esferitas son demasiado grandes y en la respuesta de CE no hay huecos entre las esferitas.
Así que en uso de mis atribuciones y aprovechando la inapelabilidad de las decisiones que tomo sobre los concursos (je, je), decido declarar...
UN TRIPLE EMPATE
Ya habrá nuevas oportunidades para todos de ganar prestigio internacional. Estén alertas.
Nuevamente muchas gracias a todos.
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7 comentarios:
Agradezco la benevolencia del jurado para con este acusado...
Me puse a pensar, Víctor, que uno podría evaluar el porcentaje pedido
simplemente estudiando una línea (no una superficie o un volumen).
Esa línea de esferitas tendría las de los extremos en contacto con la superficie. Estas ocupan una longitud 4r, no? Bueno, el total de las esferitas de esa línea ocupa una longitud R. Entonces, simplemente se divide y se multiplica por cien dando: 400 (r/R). Y esta es una estimación excelente. Te cuento que esto fue inspirado por tu planteo. Algo más elaborado tiene que ver con un concepto llamado "índice de empaquetamiento" o algo parecido que modifica un poco (muy poco) ese resultado.
Gracias nuevamente por participar.
Tarde paro seguro,
Verdaderamente recién hoy me pude poner a escribir sobre el tema, y aquí va el resultado:
La idea No es de volúmenes sino de áreas (como la de Víctor):
Si bien en Buenos Aires hoy no hay sol, se me ocurrió taparlo con el pulgar!, ¿cómo es posible esto? Fácil un objeto es borrado del campo visual si entre él y el receptor se coloca otro objeto que subtienda un angulo sólido mayor que el primero, y esto es independiente del tamaño real de los objetos. Y esta es la idea de la resolución.
La idea es entonces tapizar la esfera de radio R con esferitas de radio r, cuántas de estas entraran en la contenedora? Creo que la respuesta es la razón entre el ángulo sólido de la esfera contenedora (4\pi) y el ángulo sólido que subtiende la esferita, este ángulo se estima como
\Omega=\pi r^2/(R-r)^2
ya que el arreglo de esferitas esta distribuido en una circunferencia de radio (R-r). el número total de esferas "fronterizas" será:
4(R-r)^2/r^2
Tenemos hasta aquí el numero total de esferitas que están en contacto con la contenedora, nos falta estimar el numero total de esferitas para así hallar el porcentaje.
El numero total lo estimé de la siguiente manera: contando el numero de esferitas que hay en cada capa.
El número de capas de esferitas que se pueden arreglar en la esfera contenedora es ~R/2r, es decir tendremos arreglos de esferitas sobre capas de radios
(R-r); R-3r), ....[R-(2k+1)r]
El número total será la suma de las esferitas que hay en cada capa habrá que sumar entonces
\sum_k=0^{N-1} 4[R-(2k+1)r]^2/r^2 donde N=[R/2r].
Si la memoria no me falla y Adrian Paenza no me mintió, el cociente entre el número de esferas “fronterizas” y el total resulta:
12*(N-0.5)^2/(28N^3-12N^2-1)
Y el porcentaje es 100 veces este cociente los números que se desprenden de este modelo son ligeramente superiores al propuesto por el moderador de este blog (para N~4). Tal vez la estimación del número total de esferitas no sea la adecuada para las capas más profundas.
Si alguien me revisa las cuantas estaré muy agradecido.
Igualmente fue divertido pensarlo.
Saludos
Phonon440, la revisión que yo hice de su cuenta es ver qué pasa para N grande y, si no me equivoco, daría 467 r/R lo que me parece una estimación excelente.
Sin embargo me parece que está levemente subestimada la cantidad total de esferas por estar subestimado el número total de capas. Las capas ocupan algo menos que 2r de espesor, por el tema de los "huequitos" que se forman al acomodar las esferitas.
Después está sobreestimada la cantidad de esferitas por capa, pero eso está hecho en la superficial y en todas las demás así que no tiene consecuencias, creo.
El asunto es que cada esferita "ocupa realmente" 2r*2r (como dice nuestra amiga CE) y no pi*r^2 en la superficie grande, de valor 4*pi*R^2 o bien 4*pi*(R-r)^2, ahí R o R-r no cambia mucho la cosa cuando R es mucho mayor que r.
Todavía me falta revisar realmente su cuenta y no, como hice, el resultado y las hipótesis de partida.
Un abrazo y gracias.
RD, dos cosas:
1) No es contradictorio lo dicho por CE con lo expuesto por mí. En efecto, que cada esferita ocupe 2r*2r en la esfera de radio R, no tiene que ver con el \pi r^2 utilizado por mí, que es la superficie resultante del corte de la esferita con un plano que pasa por su centro y es perpendicular al vector posición de este para el calculo del ángulos sólidos.
2) webeando encontré que para 3-esferas (o esferas a secas) la densidad de empaquetamiento viene dada por:
\pi/\sqrt{18},
por lo tanto, el numero total de esferitas contenidas en una de radio R será:
\sqrt{18}/\pì * (r/R)^3
y la razón entre el número de esferitas "fronterizas" y el total resulta:
4\sqrt{18}/\pi(r/R)~5.4(r/R)
El porcentaje buscado es entonces:
~540(r/R)
muy similar al que Ud. estima. Un saludo y hasta la próxima.
Lo que se me ocurrió concretamente fue calcular con 2*pi*r el número de esferas que estarían en contacto con la esfera grande (dividiendo su circunferencia por el diámetro de las pequeñas), y luego con pi*r2 calcular el número total de esferitas que caben en la grande (dividiendo la superficie de la grande por la superficie de las pequeñas -aunque intuyo que este cálculo no será exacto, pues omite los inevitables huecos entre las esferitas-). De este modo, tenemos el número de esferitas que tocan la circunferencia, y el número total que caben en la misma superficie, por lo que podemos calcular las que quedan en el interior.
Con las cifras que utilicé me salía una relación directa entre R y r. Sin embargo, al repasarlo me di cuenta de un error, pues para calcular el número de esferitas en contacto con la circunferencia había que tener en cuenta que estarían en su interior, por lo que la circunferencia a computar no era de radio R, sino de radio R-r. Al rehacer los cálculos ya no me daba la misma relación R/r, y en ese momento no tenía la ocasión de seguir investigando...
Todo lo anterior se basa, lógicamente, en la suposición de que todos los planos de la esfera serían iguales, lo cual admito que puede ser discutible en este caso. El motivo de pensar en líneas y superficies obedece únicamente a la necesidad de evitar los volúmenes, que exceden de mis matemáticas.
En cualquier caso, ha sido una experiencia estimulante.
Víctor, como el planteo dice que r es mucho menor que R y, además, sólo se pide una estimación, la diferencia que habría entre R y R-r no tiene ninguna importancia.
Un saludo cordial.
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