38. And the winner is...

¡Coriolis!

Su respuesta, H = 5482 km, es la correcta.
Debe tenerse en cuenta que circulan en la literatura diferentes valores de aceleración normal de la gravedad y del radio de nuestro planeta.
Mi resultado (H = 5473 km) y el suyo coinciden dentro de un margen del 2 por mil lo que, sinceramente, ahora me deja tranquilo sobre haber hecho bien las cuentas.
Gracias Coriolis por participar.

Para quienes preguntaron por mail sobre algunos posibles resultados que no eran correctos, les cuento que la clave del problema era tener en cuenta la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia r al centro de la Tierra. Esta dependencia funcional es, para el exterior de nuestro planeta,
g = g (r = R) . R^2 / r^2
donde g (r = R) es la gravedad a nivel del mar, R es el radio del planeta y r la distancia al centro. Por supuesto, r = R + H.
A partir del valor de la aceleración, había que usar algunas técnicas de integración apropiadas (ya que ese valor era dependiente de la posición) para obtener primeramente la velocidad como función de la coordenada del objeto y luego el tiempo como función de esa coordenada.
Para quienes preguntaron por qué decía media hora y no 1800 segundos, les cuento que era para dar la imagen de que se trataba de un tiempo "razonable" , cuando para una caída libre era un tiempo "gigantesco" que sugería, por sí mismo, la idea de g variable con la posición.