Para los amigos lectores que gustan de los desafíos intelectuales:
Una esfera hueca de vidrio de radio interno R está totalmente llena de bolitas esféricas de radio r, que es mucho menor que R. Estime qué porcentaje de las bolitas están en contacto con el vidrio. Unicos datos: r y R. Justifique detalladamente su estimación.
Este concurso se abre el 20 de julio a las 21:00 y se cierra el 22 de julio (martes) a las 15:00 (18:00 GMT).
El ganador será el que, a la vez, provea una muy buena estimación y agregue una apropiada justificación del método usado para hacerla.
Como se imaginan, mis decisiones son inapelables. Pero criticables, sin duda...
El premio consiste exclusivamente en el prestigio internacional que obtendrá el ganador.
Las respuestas se recibirán como comentarios a este párrafo.
¡Suerte para todos!
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6 comentarios:
Roberto, envio mi estimación directamente al blog ya que no se permiten consultas por mail:
volumen de la esfera(V1)= 4/3 π R^3
volumen de cada esferita(V2)= 4/3 π r^3
número de esferitas en la esfera = V1/V2 = n1 = (R/r)^3
area de la esfera (A1)= 4 π R^2
si tomamos cada esferita lo suficientemente pequeña podemos considerarla inscripta en un cuadrado de area (2 r)^2= 4 r^2(A2)
A1/A2 = n2 = π (R/r)^2
porcentaje de esferitas en contacto con la superficie de la esfera=
n2 100 / n1 = π (r/R)100%
CE
Ofrezco la estimación de una persona sin ninguna formación matemática (sólo conozco las fórmulas 2*pi*r y pi*r2 de la escuela, y desgraciadamente no entiendo nada de lo que ha escrito mi predecesor, pero me apetecía intentarlo).
Mi solución: la proporción es la misma que exista entre R y r; si r equivale al 10% de R, entonces el 10% de las bolitas pequeñas estará en contacto con la superficie de la bola grande.
Razón: lo he probado con R=50/r=5 (10%), y con R=100/r=5 (5%), y salvo error se cumple esa regla.
No he considerado volúmenes sino superficies, porque intuyo que en una esfera todos los planos deben ser iguales, por lo que el resultado se podría extrapolar.
No puedo aportar una fórmula, así que no me postulo para el premio. Pero tenía curiosidad por saber si el razonamiento es correcto.
Propongo una estimación para el caso del arreglo menos apretado de bolitas de radio r, o sea, un arreglo cúbico (el centro de cada esferita ubicado a exactamente 2 r,
del de cualquiera de sus vecinas más próximas).
En tal caso en un volumen cúbico de lado n x 2 r entran n^3 bolitas, con lo que el volumen
efectivo ocupado por cada una es vef=(n 2r)^3/n^3=8 r^3.
De igual manera, sobre un cuadrado de lado n x 2r se apoyan n^2 esferitas, con lo que cada una ocupa una área efectiva aef=(n 2r)^2/n^2=4 r^2.
Dentro de la esfera de radio R se tienen entonces unas ns=4 pi R^2/aef esferitas en contacto
con la superficie, y nv=4/3 pi R^3/vef es el número total de ellas, el porcentaje pedido es entonces 100xns/nv= 600 r/R.
Espero no haberlos aburrido mucho.
Coriolis
bufff, viendo el nivel que hay por aquí creo que me he metido donde no me llamaban, jeje..
Además he repasado mis "cálculos" (por llamarlos de alguna manera) y he visto que tampoco eran correctos, por lo que la conclusión también era errónea.
En fin, me retiro de la competición antes de que me echen...
La conclusión no era errónea Víctor.
Espera un rato y mira el párrafo 40 cuando aparezca, en unos minutos.
Un saludo cordial.
Pues viéndolo bien, no estaba tan inalcanzable el concurso, claro que me pasa un poco como a Victor, que me intimida ponerme competir con gente que de plano si maneja otro nivel de reflexión más pesado :)
Bueno, pues esperaré un próximo concurso para animarme a participar, ojalá que sea pronto.
¡Saludos a todos los ganadores!
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