Les propongo resolver el siguiente problema y enviar el resultado con una breve explicación del método usado:
Se tiene un círculo pintado sobre una mesa y un conjunto de monedas circulares.
Se desea ubicar la mayor cantidad posible de monedas totalmente dentro del círculo, sin que se superpongan.
Si el círculo tiene 8 centímetros cuadrados de superficie y las monedas 1 centímetro cuadrado, ¿cuántas cabrán como máximo?
Prestigio internacional se derramará sobre el primero que dé la respuesta exacta y una linda explicación.
12 comentarios:
Un problema de geometría!! Veo que he hecho bien en pasarme por los blogs después de tanto tiempo...
Pues aquí está mi respuesta: El número máximo de monedas que se pueden tener son 7.
Para empezar, haré la observación que, dado que la círculo grande tiene 8 de área y las monedas (círculos pequeños) 1, entonces habrá un máximo de 8 monedas. Pero ésto sólo podría pasar si las monedas ocuparan todo el espacio y éso no podrá pasar porque dos circunferencias son tangentes en un solo punto (como consecuencia, al poner monedas en un espacio determinado siempre habrá espacios huecos).
Hasta aquí queda demostrado que habrá como máximo 7 monedas en el círculo.
El área de un círculo es "cuadráticamente" proporcional a su radio, por lo que si tomamos el área de una moneda como unidad en el espacio y el círculo de está como unidad en la longitud, podemos deducir que el radio del círculo es 2*sqrt(2) veces el radio de una moneda. este número és más grande que 3, por lo que podemos poner tres monedas en fila india (siguiendo un diametro del círculo).
Por otra banda, podemos poner siete monedas de la forma siguiente:
O O
O O O
O O
así estamos poniendo las siete monedas en tres diámetros diferentes del círculo y si colocamos la moneda central en el medio del círculo, nos aseguramos que las siete monedas estarán en él.
Por lo tanto, se pueden poner 7 monedas en el círculo, pero no más.
Espero que mi explicación se entienda... ahora me voy al cine, a ver si hacen algo interesante...
En el comentario anterior no se ve bien la forma en que se tienen que colocar las monedas, a ver si ahora me lo deja poner bien...
_O O
O O O
_O O
(los "_" son para que no desaparezca el espacio necesario para que salga bien el dibujo)
Ay, Sara, lamento mucho que la raíz cuadrada de 8 sea menor y no mayor que 3...
Realmente pensaba que tú ganarías... pero todavía puede ser.
¡Animo!
Un saludo desde lejos.
Puedo colocar hasta cuatro monedas sin superponerse.
Tracemos diámetros perpendiculares en el círculo pintado. En un diámetro puedo colocar como máximo 2 monedas (raiz de 8, la razón entre diámetros). Coloquemos una en uno de los dos diámetros, tangente al círculo, por el interior. La otra, en posición similar en el otro diámetro. Para que las dos monedas así colocadas no se superpongan, distancia H entre los centros de las monedas debe ser al menos dos veces el radio de la moneda.
Se demuestra, con ayuda del triángulo rectángulo formado por los dos diámetros y la recta que une los centros de las monedas, que esa distancia (hipotenusa del triángulo mencionado) es 2,5 veces el radio de la moneda.
Caben 5.
La solución es la siguiente:
1º La parte verdaderamente complicada del problema estriba en despejar el radio de cada uno de los círculos. Tras pelearnos un buen rato con la fórmula pi*r2, obtendremos que r=0,56 y R=1,59.
2º Seguidamente, y según nos dice el problema, se pinta un círculo sobre una mesa de 8cm2 de superficie, con la inestimable ayuda de un compás.
3º Se confeccionan algunos círculos de 1cm2 de superficie, utilizando al efecto un compás, un papel, unas tijeras, y unos conocimientos básicos de manualidades.
4º Siguiendo de nuevo las instrucciones del problema, ubicamos la mayor cantidad posible de círculos pequeños en el interior del grande, sin que se superpongan. Y vemos que caben 5, muy ajustadamente, colocados en forma de pentágono.
A decir verdad, me preocupa un poco lo justo que caben los 5 círculos, si me ha temblado la mano al recortarlos y me han salido un pelín más pequeños de lo que deberían ser, es posible que la solución correcta sea 4.
Aún así, me mantengo en los 5, el maestro Roberto no dejaría que se desperdiciara tanto espacio en el círculo grande...
Creo que Victor tiene razón y puede que entren 5 monedas (concretamente 5,428, o sea, 5)
Saludos desde España
En primer lugar saludos y felicitaciones a mis amigos españoles por la merecida victoria en la Copa Davis.
En segundo lugar, gracias a todos los que propusieron respuestas al concurso.
Y... el ganador es Víctor quien propuso primero la respuesta correcta.
Como se dice en el planteo del acertijo... Gran prestigio internacional se derrama ahora sobre ti.
Un abrazo para todos desde Buenos Aires.
¡Felicidades Víc! estás arrasando con los concursos.
Gracias Roberto, no tenía muy claro que me mereciese el premio, al no ofrecer una fórmula... has sido tolerante conmigo a pesar de la Davis...
Pues sí, lo de la Davis ha sido una verdadera sorpresa, aquí nadie esperaba que la ganáramos cuando se supo que no iba Nadal y los medios nos contaban historias de miedo sobre el público argentino... En fin, lamento sinceramente la decepción que habréis sentido los argentinos, y más ahora que te conozco.
Aunque sospecho que esto del deporte lo verás con bastante tranquilidad, como yo. A mi por lo menos no me quitan el sueño ni las victorias ni las derrotas de España o del Real Madrid. En realidad, vivo unas y otras de forma bastante egoista: las victorias me alegran durante un día, y las derrotas no me apenan más de 5 minutos. Como me decía alguien, el día que un futbolista se preocupe por mis problemas, me preocuparé yo por los suyos...
Y gracias por las felicitaciones Myriam, este concurso lo debiste ver tarde, porque si no lo hubieras ganado seguro.
Por cierto, aunque no puedo participar en el concurso que tienes abierto, llevo un rato con el problema y no lo resuelvo. Y eso que parece muy fácil...
Saludos
Víctor, en la propuesta del concurso no decía que debiera ofrecerse una fórmula sino un resultado y una descripción del método usado. Eso es lo que tú hiciste, efectivamente.
Así que el premio te lo has ganado sin discusión alguna.
Con respecto a la Davis, aquí en la Argentina están haciendo lo que siempre hacen cuando se pierde un torneo: están buscando a un CULPABLE. Que si Nalbandián no se lleva bien con los compañeros o Del Potro se fue a la China cuando no debería haber ido, y así siguiendo...
Como tú dices, me lo tomo con cierta calma pero, en cuanto al fútbol soy bastante fanático de San Lorenzo de Almagro que ahora esta peleando por los primeros lugares de la tabla de posiciones a pocas fechas de la finalización del campeonato.
Entonces, seguimos en contacto a través de los blogs y de paso te comento que voy a poner otro concurso proximamente.
Un abrazo.
Pues entonces, felicitaciones por ganarle hoy al Globo... justo acabo de poner una entrada sobre otro partido que terminó 4-1, casualidades de la vida...
Gracias, Víctor. Realmente este tramo final del campeonato viene complicado. Por ahora, hay varios candidatos a llevárselo pero espero que seamos "nosotros".
Justo leí tu comentario un minuto después de ver la noticia en internet ya que venía de una clase y no pude seguir el partido en tiempo real.
Saludos desde Buenos Aires.
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