lunes, 6 de diciembre de 2010

205. Para pensar un poco más...

Con respecto al problema planteado en el párrafo anterior debo decir que ya hay un lector muy encaminado en su resolución, como se puede ver en los comentarios.
En esos mismos comentarios les había dicho que luego plantearía un problema más difícil sobre la misma idea.

Pues entonces aqui va:

Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden.

Como pueden ver, el enunciado es muy similar al anterior pero se ha cambiado un número: el 12 por el 24. Esto hace que no sea simple contar todas las configuracones escribiendo cuáles son. Hay que pensar de otro modo y ahí está la dificultad esencial de esta variante. Observen que en los comentarios del párrafo anterior y, gracias a un planteo del lector Antonio, hice una aclaración que quita una cierta ambigüedad que había en el enunciado, léanla.

Como siempre, tengan en cuenta que un premio fabuloso los espera y otro mayor a los ganadores múltiples, como les cuento en el párrafo 204.

Suerte para todos.

6 comentarios:

Myriam dijo...

A ver Roberto, sólo hice esbozos rápidos en mi libretita, no hay un orden y rigurosidad muy rigurosa. Te planteo mi idea.

Inevitablemente mi impulso para iniciar es tratar de establecer una ecuación y luego contar y lo he planteado así:

2x+4y+6z=24

o lo que es lo mismo:

x+2y+3z=12

Y de aquí de rápido no se me ocurre más que pensar todas las posibles soluciones de la ecuación, aqui me pudo haber faltado alguna pero revisé bien y CREO que son todas

0,0,4
0,6,0
0,3,2
1,1,3
1,4,1
2,2,2
2,5,0
3,0,3
3,3,1
4,1,2
4,4,0
5,2,1
6,0,2
6,3,0
7,1,1
8,2,0
9,0,1
10,1,0
12,0,0

obviamente, considerando que sólo puede haber números enteros como soluciones de la triada (x,y,z).

Bueno, pues ya, hasta ahí es la primera parte, ahora bien, atendiendo a eso de "...Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden", revisé aquellos viejos temas de combinatoria los cuales tenóa olvidados y, si no me equivoco, el número de formas en que se pueden ordenar n elementos sin importar que incluso dos de ellos sean idénticos (entiéndase por ejemplo dos autos de la misma marca, modelo y año, mismo color, etc) serían n!, entonces veo cuantos elementos hay en cada uno de los casos y les aplico esa regla del factorial, lo hice en mi libretita y aquí te pongo el resultado un poco abreviado, quizá se puede abreviar más:

4!+2(5!)+4(6!)+3(7!)+3(8!)+2(9!)+2(10!)+11!+12!

Pues esa es mi humilde respuesta, por lo menos servirá para saber que tanto pude acercarme al resultado.

Estaré pendiente de la solucion GM.

Un beso.

Myriam dijo...

P.D. ¡Chispas! ahora que lo veo son un buensísimo de posibilidades las que yo propongo, glups, esperaré ansiosa la respuesta.

Roberto dijo...

Mi querida Myriam, la cuestión es así: importa solo el tipo de vehículo y su ubicación pero no, digamos... el número de la chapa patente (así la llamamos en AR).
Así que, cuatro camionetas es UNA configuración pero tres camionetas y tres motos son muchas, dependiendo de DONDE están las motos y DONDE las camionetas. Pero NO dependiendo de CUALES CAMIONETAS O MOTOS habláramos.
Si vamos al caso del acertijo del párrafo 204 ahí le hice un comentario a Víctor donde traté de aclarar el enunciado. No sé si lo he logrado. Por favor, mira también ese comentario.
La primera parte de tu respuesta estaría asociada a un enunciado donde se propusiera como distintas configuraciones con distinta cantidad total de vehículos. Lo que luego agregas, sería (me parece...) para ubicaciones e IDENTIFICACION de vehículos ambas distinguibles. Lo que yo trato de pedir es solo con ubicaciones distinguibles pero no con las identificaciones (la chapa patente) distinguibles. Como ya le dije a Víctor esto ME enseña cuan difícil es escribir enunciados suficientemente claros.
Espero que este mismo párrafo me haya salido suficientemente claro... ja ja.
Una sugerencia mía, ¿por qué no empiezas con el acertijo del párrafo 204 y luego te metes con el del 205?
Y no te olvides de leer mi comentario a Víctor ahí.
Muchas gracias por participar.
Un beso.

Víctor dijo...

Roberto, utilizando los mismos criterios que he usado para el problema del párrafo 204, ofrezco una posible solución.

Primera situación. Sólo vehículos de una misma clase: 3 resultados.

Segunda situación. Combinación de un solo coche con motos: 11 resultados. Combinación de una sola camioneta con motos: 10 resultados. (No es posible combinar un solo coche con camionetas, o viceversa). Total 21 resultados.

Tercera situación. (Aplicando la fórmula que daba en el párrafo 204 cada vez que cambian los integrantes del grupo). Combinación de motos y coches: 102 resultados. Combinación de motos y camionetas: 52 resultados. Combinación de coches y camionetas: 8 resultados. Combinación de las tres clases de vehículos: 45 resultados. En total, 207 resultados.

La suma de todos los totales nos daría la cantidad de 231 variantes posibles.

Un abrazo

Myriam dijo...

Ay Roberto, no pues ya me confundí. Veré que tal le va a Victorcito y en base a eso espero volverle a intentar.

Te mando un enorme beso.

Roberto dijo...

Víctor, te cuento que en este tipo de problemas es bastante difícil encontrar dónde está el error cuando un resultado no es correcto. En particular el uso de tu fórmula del párrafo 204 me resulta a mí difícil de seguir en este caso.
Pero, por ejemplo, para el caso que tu llamas "Combinación de coches y camionetas", por enumeración yo logro mostrar diez posibilidades así que ocho estaría mal.

Te muestro las posiblidades:

33222
32322
32232
32223
23322
23232
23223
22332
22323
22233

Bueno, igualmente habrás notado que el esfuerzo de buscar la solución te lleva a ver que buena parte de la matemática se puede deducir simplemente pensando y sin acudir a los libros. Y eso creo yo que es muy importante.

Un abrazo.