Les propongo un problema interesante:
Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 12 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber dos cosas: 1) cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden; 2) cuáles son esas configuraciones. Obsérvese que si se define, para simplificar, al valor "dos metros" como la unidad de longitud, una manera de expresar la configuración en la que hay una camioneta en el primer lugar, una moto en el segundo y un auto en el tercero sería: "312", y aquella en la que hay solo dos camionetas: "33". Naturalmente, los dígitos deben sumar seis.
El primero que publique en los comentarios la solución correcta a las dos preguntas obtendrá el premio "Prestigio Internacional".
A partir de ahora, quienes obtengan en la resolución de problemas tres prestigios consecutivos o cinco no consecutivos recibirán el premio especial "Gran Prestigio Internacional" que conlleva, como pueden imaginar, un reconocimiento universal a su capacidad sobresaliente en la resolución de problemas.
¡Suerte para todos!
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18 comentarios:
Paso, por razones obvias.
saludos
Myriam considera físicamente imposible aparcar en unos espacios tan reducidos... :-DD
Si Víctor, y además de físicamente también humanamente porque de entrada no se conducir un auto y cuantimenos una camioneta. ¿Para la moto me sirve que sepa andar en bici?
Abracitos :)
Me parece que los lectores necesitan un empujoncito para vencer la inercia... ¡Vamos que no es tan difícil!
Realmente difícil va a ser el próximo problema, que tiene alguna relación con éste.
Saludos a todos desde Buenos Aires.
Para Myriam: qué linda palabra "cuantimenos". Aquí he oído "cuantimás" en una canción que tiene un verso que dice refiriéndose al pueblo de origen de alguien:
"cuantimás lejos te vayas más te tenés que acordar".
Beso.
Jajaja, pues si hay "cuantimás" debía haber "cuantimenos". Prometo que le voy a pensar al problema, ay Robertito, es que ahora si me traen bien atareada.
Besos y abrazos!
Si la vereda mide 12 metros:
Con dos camionetas C1 Y C2, tengo la configuracion c1c2, c2c1, lo que equivale a 2!.
Con 3 autos, A1,A2,A3 tengo 3!=6 configuraciónes:
A1A2A3, A1A3A2, A2A3A1, A2A1A3, A3A1A2, A3A2A1
Con 6 motos, tengo 6!= 720 configuraciónes (le debo la demostración)
En caso de ser de distinto tipo:
Moto + Auto
Por ejemplo, 4 motos + 1 auto:
M1M2M3M4A1, obtengo 5!=120 configuraciónes.
2 motos + 2 autos= 4!= 24 configuraciónes.
En caso de moto + camioneta, la unica posibilidad es 3 motos + 1 camioneta = 4!=24 configuraciónes.
En caso de tener los tres tipos de vehiculos, la unica posibilidad es 1 moto+ 1 auto + 1 camioneta= 3!=6 posibilidades.
Sumando todo: 2+6+720+120+24+24+6= 902
Espero no haberme salteado ninguna congifuración.
Antonio, realmente es responsabilidad mía no haber sido claro en el enunciado.
Te cuento, se espera que propongamos cuantas configuraciones diferentes pero sólo teniendo en cuenta el tipo de vehículo. Me explico: la que tu denominas C1 C2 y la C2 C1 son para este problema una sola, la que yo llamo 33, y la de las seis motos para este problema es (con mi notación...) 111111, también una sola. Desde luego, el problema que has resuelto es mucho más difícil que el que tratado de plantear aquí y no dudo que en escasos minutos recibiré también de tu parte la respuesta correcta.
Te prgunto: ¿tú eres Antonio Ruiz?
Saludos cordiales.
Ah, tenía esa duda cuando lo resolví.
Entonces quedaría:
Solo camionetas: 3-3
Solo autos: 2-2-2
Solo motos: 1-1-1-1-1-1
(3 en total)
Luego, como ya explicado anteriormente, 4 motos + 1 auto: 120=5!
dos motos + 2 autos: 24=4!
En caso de los tres distintos= 3!=6.
Pruebo esta, porque es la mas corta: 123 =12
132 =12
231= 12
213 =12
312 =12
321 =12
Total quedaría: 1+1+1+120+24+6= 153
Y la pregunta, no soy Antonio Ruiz, soy Antonio Podrzaj, fui alumno suyo en el ingreso al ITBA este verano.
Estimado Antonio, ocurre que ahora has aplicado solo parcialmente la regla de que solo te interesa el tipo de vehículo: algunos de los casos que estudiás lo hacés suponiendo "distinguibles" a los vehículos de igual tamaño. Si todavía tenés ganas, espero tu nueva respuesta.
Saludos cordiales.
Antonio, acabo de ver en el sistema del Itba que estás dando ahora tus finales y ya has dado uno con éxito. Felicitaciones.
Dedicate a eso y luego podés completar tu respuesta aquí.
Saludos y suerte!
Roberto, no sé si he entendido bien el problema, porque con la última aclaración que haces me parece demasiado sencillo, comparado con los que acostumbras a poner. Bueno, en realidad lo sencillo sería la identificación de las diferentes posibilidades, mientras que lo interesante sería la fórmula, que debe ser la solución que buscas en el problema de la entrada siguiente.
En este problema las posibilidades serían siete:
111111
11112
1122
222
3111
321
33
Saludos
Víctor, tú vas un poco más allá de la última aclaración, pero es muy interesante todo esto ya que muestra lo difícil que es redactar enunciados.
Los vehículos son indistinguibles pero no pregunto por la cantidad total en la fila que es lo que tú respondes sino por la disposición o ubicación en la fila: de ese modo 321 sería distinto de 312.
Así resulta apenas más difícil. Espero entonces tu respuesta, con seguridad correcta, que leeré mañana porque ya me voy en este momento de la oficina.
Un abrazo.
Roberto.. cierto que es complicado redactar un enunciado -como, en general, describir con precisión cualquier idea-, pero creo que tu enunciado era correcto. Error mío por no leerlo con detenimiento.
En cuanto al resultado del problema, lo he obtenido ya por mero desarrollo de todas las posiblidades, pero me gustaría pensar un poco más en el tema este fin de semana, a ver si dedicándole un poco de tiempo deduzco la fórmula que debe andar por ahí escondida.
Un abrazo
Víctor, te cuento algo que puede ser útil. En cierta clase de problemas matemáticos hay algo intermedio entre lo que podríamos llamar "resolver por tanteos" (que es algo legítimo, sin dudas) y "encontrar la fórmula cerrada" (es decir, donde metes el dato y te da el resultado). Esa posibilidad intermedia es "encontrar una relación de recurrencia" es decir, una fórmula que te permita calcular por ejemplo cuántas disposiciones distintas habría para "n" unidades de longitud conocida la cantidad de disposiciones que hay para alguna (O ALGUNAS) de las anteriores: n-1... etc.
Luego de eso se aplicaría la fórmula de recurrencia partiendo de algún valor (O VALORES) conocido/s, generalmente muy pequeño y fácil de calcular por tanteos.
Espero que esta idea te sirva.
Buen fin de semana.
Bueno, a ver si ahora va. Te diré que leí rápido tu pista y no la memoricé. No la he querido consultar de entrada cuando me he puesto, con papel y lápiz, a pensar en el asunto, y ahora que creo haber llegado a una solución compruebo que tu comentario, más que una pista, era ya casi la solución en si misma.
Bien, distingo tres situaciones posibles:
Primera: que todos los vehículos sean de la misma clase. Esta situación ofrece 3 resultados (111111, 222, 33)
Segunda: que sólo haya un vehículo distinto a todos los demás del grupo. En este caso, el vehículo distinto tendrá que recorrer todas las posiciones de la fila para agotar las posibilidades. Por lo tanto, habrá tantos resultados como vehículos tenga ese grupo. Esta situación ofrece 5 resultados para el grupo 11112, y 4 resultados para el grupo 1113. Total 9.
Tercera: que exista más de un vehículo que sea distinto a otros del grupo (sea de la misma o de diferente clase). En este caso, un representante de cada clase de vehículo tendrá que ocupar cada posición de la fila, mientras los demás alternan sus posiciones, para agotar todas las posibilidadees. La fórmula sería (siendo "ncv" el número de clases de vehículos, y "ntv" el número total de vehículos: R=ncv*(ntv-1). Esta situación ofrece 6 resultados para el grupo 1122, y otros 6 para el grupo 123. Total 12.
De esta forma, las posibilidades totales, de acuerdo con el enunciado, serían 24 (3+9+12).
Un abrazo
Víctor, como tú dices bien las configuraciones son 24, así que te has ganado el Prestigio Internacional ofrecido como premio.
Felicitaciones.
Te cuento algo, yo no estoy totalmente seguro de entender la lógica detrás de la fórmula R=ncv*(ntv-1), pero que en este caso da bien, no hay duda. Te aclaro que hay una alta probabilidad de que sea simple incompetencia mía, ya que a esta altura del año estoy bastante cansado. De hecho, esta mañana tome el examen final de una materia que recorre estos temas.
Un abrazo desde Buenos Aires.
jeje, Roberto, tu comentario me demuestra que no sólo eres una persona muy considerada, sino que también eres un magnífico científico... pues no descartas por completo, sin una prueba en contrario, que una fórmula seguramente ilógica pudiera, bajo alguna hipotética, extraña, o cuasi-borgiana circunstancia, significar algo en alguna parte o momento.. :-)
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