Hace aproximadamente un año leí en el blog de Sara un problema muy interesante bajo el título de "Probabilidad".
Propongo a mis lectores una variante de ese problema cuya solución entiendo que no es para nada simple:
Tenemos un octaedro regular y ocho colores diferentes para pintar sus caras, ¿de cuántas maneras distintas podemos pintar el octaedro? Se considera que la rotación, en cualquier dirección, de un octaedro ya pintado no genera uno diferente, es decir, si primeramente lo pintamos y luego lo giramos, seguimos teniendo el mismo octaedro y no se lo debe contar dos veces.
4 comentarios:
Para este problema se me ocurrieron dos formas de resolverlo aunque muy parecidas entre sí.
El análisis se centra en primero obtener todas las maneras posibles de colorear el octaedro sin tener en cuenta que al rotarlo se puede llegar a obtener uno similar. En este caso, al tener 8 caras y 8 colores, primero se elige un color de entre 8 para colorear la primer cara, luego se elige otro color entre los siete restantes para pintar la segunda cara y así sucesivamente con las demás caras que quedan. De esta forma, se tiene 8! (40320) maneras de colorearlo. En el segundo paso, que es el corazón de la solución, se analiza la cantidad de posiciones distintas que puede tomar un octaedro. Aquí la solución toma dos caminos distintos:
1. Rotación en función de los vértices
Supongamos que se apoya el octaedro sobre un vértice en el suelo(de la misma manera que se hace con un trompo). Una vez apoyado, se gira para que queden dos triángulos de frente (uno por debajo del otro) siempre manteniendo el cuerpo sobre su vértice y perpendicular a la superficie. Esta pocisión es una de las tantas maneras de ver al cuerpo. Ahora si se lo rota con respecto al eje perpendicular al piso que pasa por el vértice superior e inferior teniendo ahora otros dos triángulos de frente, se puede decir que aunque el cuerpo sigue manteniendo la forma en el espacio, ahora se lo está viendo de manera distinta. Esta rotación permite, a partir de un vértice apoyado, girar 4 veces el cuerpo y tener así 4 posiciones distintas (ya que un octaedro son dos pirámides de base cuadrada unidas entre si). Entonces si se repite este procedimiento con cada uno de los vértices que en total son 6, tenemos 6x4 = 24 formas de rotarlo.
En consecuencia, si se tiene que pintando el cuerpo sin tener en cuenta los similares por rotación da 8!, se divide ahora por la cantidad de diferentes posiciones que se puede rotar para evitar contar de más. (concepto de combinatoria) 8!/24 = 1680 y esa es la solución del problema.
2. Rotación en función de las caras
La otra forma de verlo es en vez de apoyando el cuerpo sobre un vértice es apoyándolo sobre una cara. Entonces por cada cara, hay 3 formas de rotarlo diferentes entre sí. Si se repite este procedimiento con todas las caras (ocho) da como resultado 3x8 = 24 que es lo mismo que el resultado anterior.
Espero poder entenderme, ya que me cuesta bastante poder explicar esto con claridad.
Saludos.
Juan Manuel, yo no lo podría explicar más claramente. Está perfecto. Mis felicitaciones.
¿Porqué asume que todas las caras tienen distinto color?
Tal vez no esté totalmente claro en el enunciado pero ése es el dato del problema.
Creo que convendría agregar una frase aclaratoria para evitar confusiones.
Gracias por su aporte.
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