Se tiene un polígono regular de n lados.
¿Cuántos valores diferentes de longitud se encuentran midiendo sus diagonales?
Se premiará la primera respuesta correcta que se reciba y la mejor fundamentación.
Como casi siempre, el premio es el prestigio internacional que obtendrán los ganadores.
El concurso cierra a las 19:00 de Buenos Aires (22:00 GMT) del viernes 19 de septiembre de 2008.
¡Suerte para todos!
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12 comentarios:
El polígono de n lados tiene n vértices.
Un vértice dado tiene entonces n-1 "compañeros".
Si n-1 es par, cada uno de estos compañeros tiene un homólogo que se encuentra a la misma distancia
del dado vértice, con lo que el número de diagonales diferentes es (n-1)/2 en este caso.
Si n-1 es impar hay (n-2)/2 compañeros que tienen homólogo y un único vértice compañero que no tiene homólogo, con lo que el número de diagonales diferentes es
(n-2)/2+1 en este caso.
Una fórmula genérica que refleje lo anterior es, con Int(x) la parte entera de x,
nro de diag. dif. = Int((n-1)/2)+1
Coriolis
Mi querido amigo Coriolis, lamento informarte que la fórmula hallada no es correcta. En particular, para el pentágono se obtendría como resultado "tres" cuando el resultado correcto es "uno".
Un saludo cordial.
Tiene razón Roberto, yo conté el número de distancias distintas entre vértices; dos de ellas corresponden a lados, por lo que se debe restar dos a la fórmula hallada. Aunque sea fuera de consurso, el resultado correcto
es Int((n-1)/2)-1, válido para n mayor o igual a tres.
Coriolis
coriolis es recurrente en el error; debe restar solo uno a la fórmula original (ambos lados se cuentan como uno en la fórmula). Por otra parte, el moderador debiera revisar su respuesta ..., me ha sorprendido.
Lev
A pesar de la dureza de sus comentarios Lev tiene razón; me retiro de las contiendas intelectuales, mi mente enferma no resiste más.
Coriolis
veo que coriolis declara poseer un mente enferma. me alegra saber que no soy el único (no asociar con lugares impropios de la actividad intelectual) ...
salud por el concurso
lev
perdon roberto
si n par: (n/2)-1
si n impar: (n/2)-3/2
coriolis
En primer lugar un gran abrazo a mis amigos que firman Lev y Coriolis.
La clave del cálculo como bien dice Coriolis es separar los casos de n par y de n impar.
Espero que quede claro el razonamiento:
Partiendo de un único vértice se pueden trazar n-3 diagonales.
Si n-3 es par es fácil ver que cada una de ellas tiene una de idéntica longitud observando la simetría de reflexión que exista en el trazado. entonces (n-3)/2 es el número de diferentes longitudes que se pueden obtener.
Si, en cambio, n-3 es impar, se descuenta por un momento la más larga (que pasa por el centro del polígono) y se la agrega al final de la cuenta. Así que quedan n-4 a las que se divide por dos por la misma razón que antes (la simetría) y se agrega una unidad al final. Resumiendo ((n-4)/2)+1 es el resultado en este caso.
Ambos resultados se pueden resumir usando la función "parte entera" (Int) resultando después de un poco de aritmética:
Int((n/2)-1) o también Int((n-2)/2), ambas para todo n.
Para un triángulo da cero como debe, para un cuadrado da uno igual que para un pentágono, y así siguiendo.
Este problema era para profesionales...
Tal vez, Víctor. Pero no te dejes asustar fácilmente. Un politólogo que trabaja aquí (y no tiene relación ni con la matemática ni con la física) empezó diciendo las mismas palabras que tú dices y luego lo pudo analizar perfectamente.
Saludos.
Es que los politólogos están entrenados para comprender lo ininteligible...
... y a hablar sobre ello...
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