jueves, 18 de febrero de 2016

332. Un problema difícil...




Hoy desafío a mis lectores con un problema un poco más difícil que lo habitual.
En la figura muestro un círculo de 2 metros de diámetro. Se desea saber el ancho de cada franja si al cortar el círculo con las líneas rectas que limitan esas franjas se lo divide en tres regiones de igual área.
Sugiero dar los resultados expresados en milímetros para evaluar rápidamente si son correctos.
El primero que obtenga con precisión esos resultados recibirá el título, universal y atemporal, de "Discípulo Principal de Arquímedes y Euclides".
Suerte para todos.
Me parece que nadie más propone en Internet fabulosos premios como los que aquí se ofrecen...

5 comentarios:

Roberto dijo...

Una pequeña ayuda.

Basta con calcular el ancho de la franja de arriba, ya que usando los datos del problema se puede calcular luego el de todas. Para calcular el ancho de la franja de arriba se considera a la superficie del segmento circular como la diferencia entre la del sector circular y la del triángulo que se forma con el centro del círculo y los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. Luego se iguala la fórmula de la superficie del segmento circular con un tercio de la superficie del círculo.

Yo consideré como variable principal para resolver el problema al ángulo central (medido en radianes) que define el centro con los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, llamémoslo "alfa". Primero se calcula alfa y luego lo pedido en el enunciado (anchos de franjas).

Ocurre que queda una ecuación para alfa que es irresoluble analíticamente, pero basta con hacer una tablita de valores para resolverla numéricamente.

Verán también que escribir el ángulo alfa en radianes simplifica mucho el cálculo de la superficie del sector circular.

El detalle de que la fórmula para encontrar el valor de alfa no sea analítica sino numérica tal vez haya separado a algunos lectores de su objetivo.

¡Mucha suerte lectores! Todavía espero la respuesta.

ramiro dijo...

Hola, seguí los pasos que mencionó y llegue a que el ancho de la franja intermedia mide unos 530 mm aproximadamente, mientras que las otras dos miden 735 mm cada una.
Quería comentar que es la primera vez que veo el blog, me parece una idea buenísima y lo felicito por el contenido que tiene la misma

Roberto dijo...

¡Felicitaciones! El resultado está perfecto. Si querés, contanos a qué te dedicás y de dónde sos... aunque me parece que tengo alguna idea sobre eso...

Saludos.

ramiro dijo...

Buenísimo,soy de Mendoza, tengo 20 años, he cursado dos años de Ingeniería Industrial en la Universidad Nacional de Cuyo y actualmente me estoy preparando para rendir el ingreso al Instituto Balseiro (mi idea es estudiar Ingeniería Mecánica). Buscando material para estudiar encontré el blog y me parecieron muy buenos los desafíos ya que no había visto ejercicios similares en otros lados

Roberto dijo...

Ramiro, también te puede servir el material que hay en

https://sites.google.com/site/desafiosdefisica/

Es un archivo que fui formando durante mucho tiempo con problemas que me parecían interesantes, algunos son míos.

En cuanto a mi comentario anterior, yo tenía la idea de que podías ser un alumno mío de aquí, en el ITBA pero, bueno, no estaba tan equivocado ya que estás estudiando Ingeniería.

Espero que ande todo bien con el ingreso al Balseiro.

Saludos desde Buenos Aires.