miércoles, 15 de agosto de 2012

266. Dos triángulos muy raros...

Tengo entendido que hay un cierto grupo de mis lectores a quienes les interesa resolver problemas. Para ellos, entonces:

Se tiene un triángulo isósceles. No se puede cambiar la longitud L de cada uno de sus lados iguales pero el desigual se puede elegir con la longitud que se desee. Cuando se lo elige de dos metros de largo resulta que el triángulo tiene una cierta superficie S. La extraña situación es que si se lo elige de cuatro metros de largo el triángulo tiene la misma superficie S. ¿Cuánto vale la longitud L? ¿Cuánto resulta ser la superficie S, en metros cuadrados?

Se sugiere responder ambas preguntas utilizando números con varios decimales.

El premio es el título eterno de Gran Geómetra Universal.

Suerte para todos.


10 comentarios:

angel lago villar dijo...

Ya me gustaría ser uno de esos lectores..pero no se puede ser rico, guapo, alto y encima un sabio :-D
Un abrazo desde 45º de calor en el sur de Spain.

Roberto dijo...

Ja ja, muy buena respuesta, Ángel.

Un abrazo desde Buenos Aires, ya casi en primavera.

Myriam dijo...

¡Jajajaja! pues "pa' que más que la pura verdad" jajaja.

Roberto, yo recién ve vine a dar una vuelta por acá y lo pensaré un rato a ver si doy con la respuesta. Un abrazo a los dos guapos de este lugar.

Víctor dijo...

Hoy "me adhiero a Myriam". "Recién" vine a dar una vuelta por acá, aunque en mi caso tendría que pensarlo durante un rato-milenio para dar con la respuesta. Un beso a la guapa de este lugar.

PD. Pensando sobre el problema, se me ocurre que la máxima superficie posible para un triángulo con la longitud L que has considerado, se alcanzaría cuando la longitud del lado desigual fuese de tres metros de largo. Aunque esa no es la pregunta, ¿me podrías confirmar si ese dato sería correcto?

Un abrazo

Roberto dijo...

Víctor, no estoy muy seguro de entender tu pregunta. Si me preguntas si dada la base de 2 metros se alcanzaría la mayor superficie con el lado desigual de longitud 3 metros, la respuesta es negativa. Se alcacanzaría si la altura fuese infinita lo que lleva al lado desigual también a una longitud infinita. Todo esto porque la fórmula de la superficie del triángulo es proporcional a la altura, lo que lleva a que cuanto más grande, mejor. Lo que me confunde de tu pregunta es la frase "con la longitud L que has considerado", porque "L" es el nombre que le doy a la incógnita, o sea, el lado desigual.

Saludos desde Buenos Aires.

Víctor dijo...

Te cuento Roberto. No me he animado a intentar calcular los datos numéricos que pides porque tengo comprobado que, aunque pueda localizar fácilmente las fórmulas correspondientes en internet, luego me encuentro con verdaderos problemas para despejar las incógnitas que se piden, dada mi nula base matemática.

Ayer cuando dejé el comentario me puse pensar un rato en el aspecto abstracto del problema, esto es, en el por qué de que se produzca la "extraña situación" que dices.

Y ese me ocurrió la siguiente "explicación" a esa situación: dada una longitud determinada cualquiera de los lados iguales (L), la superficie del triángulo dependerá de la longitud del lado desigual, claro está. Dándose la circunstancia de que la superficie tenderá a cero a medida que el lado desigual tienda tanto a cero, como al infinito. Gráficamente me lo imagino como el paso de un triángulo "supervertical" a un triángulo "superhorizontal".

Siendo esto así, lo lógico es que la superficie máxima posible para ese triangulo de lados L fijos, se alcance cuando el lado desigual tenga un valor intermedio entre cero y el infinito (digamos, "n"). La superficie se irá reduciendo a medida que nos alejemos de ese valor n (tanto aumentándolo como disminuyéndolo), de forma que la superficie será la misma si el lado desigual mide n+1 ó n-1.

Si esto último fuera correcto, se explicaría la "extraña situación" de que, en tu supuesto, la superficie sea igual midiendo el lado desigual dos metros, o cuatro metros.

Pero la "prueba del nueve" de que esta "explicación" es correcta sería que el valor justamente intermedio entre dos y cuatro, esto es, tres metros, fuese la longitud del lado desigual con la cual el concreto triángulo que estás imaginado tuviese la mayor superficie posible (cualquiera que sea el valor de L, o de S, que no me animo a calcular).

No sé si ha quedado claro, en cualquier caso muchas gracias por la paciencia de leer estos razonamientos, ¡probablemente incongruentes!

Un abrazo

Roberto dijo...

Víctor, lo que comentas es extremadamente interesante y refleja unas ideas que yo tenía y que dieron origen al problema.

Realmente, no tengo estudiada todavía esa característica tan significativa de cómo varía la superficie si uno cambia el lado desigual (base, digamos...) manteniendo constante el valor L de los lados iguales.

Pero efectivamente pensé en eso del triágulo supervertical y el triángulo superhorizontal cuando redacté el problema. Cuando graficas los triángulos que materializan la solución pedida (cosa que ya hice) resulta que pasa exactamente lo que tú relatas: uno es más bien "vertical" y el otro es más bien "horizontal".

La verdad es que yo no había podido concretar claramente la idea de que para algún valor intermedio de la longitud de la base habría un máximo absoluto de la superficie del triángulo.

Finalmente quiero decir que para llegar a las respuestas pedidas sólo te faltaría encontrar cómo traducir la fórmula clásica del área del triángulo (base por altura dividido dos) a una expresión que contenga el lado igual (L) y no la altura... ya que la base es dato. Pero eso es sólo un detalle.

Por esa extraordinaria perspicacia que tuviste al comprender lo esencial del problema, ya te llevas el gran premio propuesto que es el título de "Gran Geómetra Universal". Felicitaciones. Y gracias por la idea del máximo en la que, como te dije, no había concretamente pensado... tenía claro que algo me faltaba para la comprensión total del problema pero no lo había descubierto.

Igualmente voy a mantener el concurso abierto para que el primero en ofrecer los números pedidos en el enunciado pueda llevarse otro gran premio.

Un abrazo desde Buenos Aires.


Víctor dijo...

Caray Roberto, ¡¡muchas gracias!! :-))))

Jamás pensé que podrá ganar algún día un premio que llevase el nombre de "Gran Geómetra Universal".. no voy a decir que ya me puedo morir tranquilo, ¡pero casi!

Un abrazo

Luis Horacio Fadel del Campo dijo...

Estimado,

La respuesta es L=5^0.5M (o raiz cuadrada de 5 metros); y S=2M^2.

El problema se puede pensar como un triángulo rectángulo de hipotenusa desconocida, con base 1 en el 1° caso y con base 2 en el 2° caso, con superficie proporcional a Bx(L^2-B^2)^0.5. Reemplazando B por 1 y por 2, e igualando ambas expresiones se puede despejar L.

Roberto dijo...

¡Muy bien Luis Horacio! Tu resultado es exacto, felicitaciones.