miércoles, 7 de diciembre de 2011

240. Un problema para el fin de semana

Recientemente tomé un examen de Matemática donde puse un problema que enseguida les voy a transcribir. Lo interesante de ese problema no era su extrema dificultad, como quienes que me conocen podrían pensar, sino el hecho de que se lo podía resolver de muy distintas maneras ya que existían diferentes caminos según cómo se enfocara la situación que allí se planteaba. Así que, sin más trámite, se los muestro y espero sus respuestas con una breve descripción de cómo lo pensaron. Como siempre hay grandes premios para quienes acierten... en especial, esta vez, un Gran Súper Prestigio Internacional, por supuesto Atemporal, para dos personas: el primero en responder correctamente y el que ofrezca el fundamento más interesante, esto quiere decir, uno en el que yo no haya pensado... je je. Un comentario adicional: en este momento estamos empezando en la Argentina un fin de semana larguísimo, de cuatro días, así que recién el lunes leeré en detalle sus propuestas, aunque tal vez pueda darles un vistazo antes.
Suerte para todos y aquí va:

Ana y Bonifacio llegan a su casa y encuentran una torta de chocolate recién hecha. Ana se sirve una porción igual a un quinto de la torta y Bonifacio, una porción igual a un séptimo. Más tarde, van por otro pedazo más. De lo que ha quedado, Ana toma un quinto y Bonifacio un séptimo. Esta situación se repite varias veces hasta que sólo quedan unas miguitas.
Calcule qué fracción (o qué porcentaje) del total de la torta ha comido cada uno. Realice el cálculo por el método que crea más conveniente. Fundamente apropiadamente la validez del procedimiento elegido.

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola profesor, caí de casualidad en su blog (cursé mecánica en su clase el pasado cuatrimestre) y quise intentar el problema; una solución puede ser la siguiente:

Cada vez que los 2 comen de la torta, queda 1-1/5-1/7= 23/35 de lo que quedaba antes de que comieran esa vez. Por lo tanto, lo que queda de torta después de n intervenciones es (23/35)^n. De cada vez, Ana se lleva un quinto y Bonifacio un séptimo, por lo que quedaría, para ambos, una serie infinita (geometrica) de razon r=23/35, que converge a (1/(1-r))= 35/12. A Ana le corresponde 1/5*35/12= 7/12, y a Bonifacio 1/7*35/12 = 5/12 de la torta original.

Saludos

Facundo Cavallero

Roberto dijo...

¡Felicitaciones Facundo!

Tu solución es correcta. Confío en que tu carrera universitaria continúe muy bien.

Saludos.

Anónimo dijo...

He descubierto en esta página problemas muy ingeniosos. Veo que este también ha sido resuelto hace tiempo, pero igual quería dejar un razonamiento alternativo:

Cada vez que se sirven torta, la porción de Ana es 40% más grande que la otra. Eso es porque 1/5 : 1/7 = 1,4. Cuando se termine la torta Ana se habrá servido una cantidad de porciones, cada una 40% mayor que la que le correspondió a Bonifacio. Deben buscarse entonces dos números que en total sumen 1 (100% de la torta) siendo uno 1,4 veces el otro. De este sencillo sistema de ecuaciones se obtiene que esos números son 7/12 y 5/12, tal como se obtiene de la resolución mediante la serie infinita.

Debo admitir que estuve tentado a resolverlo aplicando la serie.

Un saludo,
Horacio

Roberto dijo...

Está muy bien, Horacio.
Felicitaciones.