A mis lectores interesados en acertijos físicos o matemáticos les propongo calcular el cociente entre el área del pentágono azul y el área del pentágono rojo. Ambos son regulares y el rojo tiene sus vértices en los puntos medios de los lados del azul.
¡Que se diviertan!
¡Mucha suerte!
13 comentarios:
Hola Roberto!! Me parece que el resultado es 4 dividido phi al cuadrado o lo que es lo mismo 1,528.Un abrazo.
Es así exactamente. Mis felicitaciones Marcelo.
Un abrazo desde Buenos Aires.
que bueno que alguien le dio con el resultado, en mi caso, soy terrible con la geografía...
Geomatría* (así de mala soy)
Je, je...
ay Mariposa jajajaja
Me acuerdo Víctor que cierta vez comentabas que cuando aparecía algún fanático de este tipo de acertijos yo me ponía contento... (ahora no me acuerdo con precisión donde pusiste ese comentario). Y bien, es cierto, no lo puedo negar.
Y también me acuerdo que algunas ideas muy interesantes y algunos resultados muy precisos los enviaste tú... (por ejemplo en los párrafos 192, 194 y 195 y en los párrafos 266, 267 y 268 y en algunos muy antiguos como en el párrafo 133 y en los párrafos 39 y 40, entre otros).
Así que aprovecho tu interés en estos temas para contarte a ti y los otros lectores cuál es el "truco" para resolver rápidamente el acertijo propuesto:
En las figuras planas de igual forma (por ejemplo, todos los pentágonos regulares o todos los rectángulos con un lado el triple del otro, etc.) la relación de áreas se obtiene fácilmente si se tiene la relación de cualquiera de sus longitudes "homólogas" (igualmente "ubicadas", por ejemplo: el lado "largo" de los rectángulos citados más arriba).
¿Cómo se hace? Pues, basta elevar al cuadrado la relación de las longitudes para obtener la relación de las áreas. Por ejemplo, si las figuras son cuadrados perfectos, es evidente que a lado doble corresponde área cuádruple.
Para nuestro acertijo es fácil probar con un poco de trigonometría que la relación entre los lados (el menor dividido el mayor) es el coseno de 36 grados (que es el ángulo que forman esos segmentos... bueno, para probarlo habría que hacer un esquema donde se agrega una línea para que aparezca un triángulo rectángulo). Luego, como se pide el área mayor dividida la menor, el resultado es 1 dividido por el coseno de 36... pero al cuadrado, por lo que comenté antes. Y eso es todo.
Un abrazo desde Buenos Aires.
Hola Roberto,
No creas que no intenté resolver el problema de esta entrada. Como la figura era fácil de recordar, estuve pensando en ella a ratos. Estuve imaginando la división de los pentágonos en triángulos, como he visto que has hecho para resolver otros problemas.. pero no avancé mucho. Al final no encontré la forma de meterle mano al problema. Y viendo la solución, no hubiera podido hacerlo (al menos sin volver a la escuela previamente), porque de trigonometría ando muy "pez".
Un abrazo
Víctor, pues... te espero para el próximo acertijo porque, como te dije antes, aun en los que no resolviste pusiste muchas veces ideas interesantes sobre el problema propuesto.
En cuanto a la trigonometría, te cuento que me parece que los profesores la complican, ya que tan solo se trata de definiciones (no más de dos o tres...) y tablas (modernamente calculadoras, je je...).
En realidad, lo que yo opino es que respecto de su utilidad en la Física la única definición que habría que saber es (como en nuestro acertijo) la de coseno.
Una definición apropiada es que se trata de cuánto mide la sombra sobre una superficie horizontal de una varilla oblicua de 1 metro de largo iluminada desde arriba, para cada valor del ángulo de inclinación. Por ejemplo, el coseno de 90 grados vale cero (no hay sombra para una varilla vertical).
En mi país, la mayor parte de la gente afirma que le costó mucho aprender Matemática o Física en la escuela y la verdad es que me parece que la responsabilidad no fue de ellos... (esta parte se llama "cosechando amigos entre los colegas").
Un abrazo desde Buenos Aires.
Un pequeño agregado: todos recordamos de la escuela que las funciones trigonométricas principales son tres: seno, coseno y tangente. ¿Por qué, entonces, bastaría con la definición de "coseno" para hacer toda la trigonometría? Pues porque bastaría definir "seno" como el coseno del ángulo complementario (90 grados menos aquel al que queremos calcularle el seno); y, finalmente "tangente" como la división entre el seno y el coseno del ángulo que nos interesa. Un ejemplo simple: seno de 60 grados = coseno de 30 grados; tangente de 60 grados = seno de 60 grados dividido por coseno de 60 grados... de paso, esto da 0,866/0,500 = 1,732.
Disculpas por tanta charla pero es que estoy "casi" de vacaciones: solo estoy dando un curso de ingreso "acelerado" jueves y viernes de mañana, que en tres semanas más termina.
Saludos nuevamente.
Hola Roberto y Victor!!Les comento que yo lo resolvi usando pitagoras y que la diagonal del pentagono es phi por el lado.Es dificil explicarlo sin dibujar pero hare el esfuerzo: vemos que tenemos el pentagono interior y 5 triangulos. Si trabajamos con uno de estos triangulos para saber su superficie calculamos la altura (hacemos un triangulo rectangulo y usamos pitagoras la hipotenusa le damos el valor de 1 y sabemos que la base vale phi/2 y tenemos que la altura que llamamos x=raiz(1-(phi^2)/4).Despues tenemos que calcular la apotema del pentagono menor que llamamos a y la del pentagono mayor A . Usamos 2 triangulos rectangulos y obtenemos 2 ecuaciones (a+x)^2=A^2+1 y A^2=a^2 + (phi^2)/4. De estas dos ecuaciones y el valor de x sacamos el valor de a=(phi^2)/4x. Despues hacemos el cociente del area del pentagono menor mas los 5 triangulos que es lo mismo que el pentagono mayor y lo dividimos por el pentagono menor y nos da 4/(phi^2).
Te comento Victor que a mi me costo bastante y eso que tengo unos cuantos años de estudio en facultad de ingenieria ...lo importante es intentarlo!!Un abrazo para ambos!!
Una aclaración para todos los lectores: Marcelo llama phi (como muchos autores, pero no todos) a la famosa razón áurea o número áureo que es igual a la mitad de la suma entre la raíz de 5 y el número 1, o aproximadamente 1,618.
Para Marcelo: como ves, muchas veces hay más de un camino para resolver un problema. Una vez yo llené tres hojas para demostrar que en un choque elástico entre una masa móvil y una quieta de igual valor o bien la que impacta se queda quieta o bien salen ambas haciendo trayectorias que son perpendiculares... luego encontré en internet una solución que tenía tan solo tres renglones.
Un abrazo a todos.
Muy cierto Roberto!!Hay demostraciones de todo tipo.Un abrazo.
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