lunes, 15 de agosto de 2011

226. Algo de geometría



Para obtener un importante premio, deberá responder qué porcentaje del disco mayor está cubierto por el conjunto de los cinco discos menores. Indique ese porcentaje con tres cifras decimales.

Como en otras ocasiones, el premio consiste en un título que el ganador podrá usar sin límite de tiempo, un premio atemporal, esta vez el de "Gran Geómetra Universal", válido aún fuera del Sistema Solar.

Mucha suerte para todos.

8 comentarios:

Roberto dijo...

¡¡Vamos lectores, que no es tan difícil!!

luis dijo...

68,521% ¿?

Roberto dijo...

Exacto, Luis. ¡Felicitciones!
Te llevas el premio prometido.
No te había visto antes por acá. ¿Querés contarle a los lectores habituales a qué te dedicás?

luis dijo...

tengo 18 años y estoy en 1er año de ingeniería mecánica en el ITBA.

acá abajo dejo una formula para calcular el porcentaje para n círculos...


100n/[1+csc(pi/n)]^2

Roberto dijo...

Gracias, Luis. Y es correcta la fórmula para el caso que los círculos formen un anillo junto al borde, como en este caso.

Ricardo dijo...

Encontre una forma quizas poco ortodoxa de resolverlo, pero pude llegar al resultado. Te comento:

Paso 1: Parti al circulo grande en 5 partes, cortando justo por el medio de cada circulo chico.
Esto nos deja 5 partes iguales que tienen 360°/5=72° cada una.

Paso 2: Si nos damos cuenta, cada una de estas lineas dibujadas tiene longitud R (radio grande del circulo) o bien 2r+h (siendo r el radio chico, y h la medida hasta el mismo desde el centro del circulo grande)
Quedaria entonces por calcular cuanto vale h en funcion de r.

Paso 3: Se agarran dos lineas consecutivas. Si denominamos A el centro del circulo chico por el que pasa una de esas lineas y B el centro del circulo chico por el que pasa la otra, y luego unimos A y B con otra linea, nos queda formado un triangulo isosceles.
La base del triangulo seria 2r y los otros dos lados miden r+h.

Paso 4: Al ser isosceles, los angulos de las bases son iguales. Y como sabemos que el angulo superior mide 72° (ver paso 1) y que en cualquier triangulo sus angulos suman 180°, entonces los otros dos angulos miden (180-72)/2=54° cada uno.

Paso 5: usamos el teorema del seno para calcular h haciendo:

2r/sen(72°)=(r+h)/sen(54°)

y despejando obtenemos:

h=(2sen(54)/sen(72)-1)r

Paso 6: El area que ocupan los 5 circulos chicos es: Ac=5*pi*r^2

el area que ocupa el circulo grande es: Ag=pi*R^2
pero R=h+2r=(2*sen(54)/sen(72)+1)r

Paso final: despejando pi y r^2 nos queda la expresion ultima que es:

Ac/Ag=5/(2*sen(54)/sen(72)+1)^2

Ac/Ag=68.521%

Espero que esto haya servido.
Soy alumno del ITBA cursando el 3er año de ing industrial.
Te felicito por el blog. Pone mas acertijos interesantes, ahi estare para resolverlos

Un saludo

Roberto dijo...

Ricardo, el cálculo que mostrás está perfecto. Hay un camino un poquito más corto a partir de formar un triángulo rectángulo con vértices en el centro del círculo grande, en el centro de uno de los círculos chicos y en el punto de tangencia entre ese círculo y su vecino. Con ese triángulo y usando que su ángulo menor es de 360°/10 sale la fórmula que aparece en un comentario anterior.

Gracias por participar y gracias por la felicitación.

Si recorrés un poco el blog vas a encontrar algunos acertijos que pueden ser interesantes y vas a detectar que existe algún cambio de estilo de los textos al correr de los años... antes este blog era un poco más serio... je, je.

Saludos.

Víctor dijo...

Puedo confirmar que la seriedad original de este blog, se ha visto gravemente perjudicada por la escasa seriedad de algunos de sus lectores más antiguos...;-). Pero me consta que el espíritu científico y pedagógico del Maestro, agradece particularmente las aportaciones estrictamente técnicas de sus seguidores.

Un abrazo Roberto.