252. Cambio

Acabo de reemplazar la foto de fondo del título del blog. Lo que se ve es la salida del sol desde mi ventana y ahí aparece uno de los colores de los que hablaba en mi comentario al párrafo 248: el dorado del amanecer con nubes. De acuerdo con una microencuesta realizada en mi oficina las opiniones están divididas: no a todos les gusta la nueva foto... je je... y somos tres.

251. Treinta mil

Hace un momento entré al blog y vi que había superado las treinta mil visitas.

Después de pensar un momento me di cuenta de que la principal razón para haber llegado a este número es la extraordinaria paciencia que tienen mis lectores. Digo esto porque lo soportan todo: desde muy difíciles acertijos hasta melodías que tardíamente advierto que no les agradan del todo... pasando por reflexiones personales supuestamente profundas y hasta... ¡novelas!... Bueno, novela, sin ese, ya que por suerte ha sido solo una... por ahora.

Así que me parece que ha llegado la ocasión de que yo los felicite a ustedes por esa extraordinaria paciencia y también por la evidente simpatía que demuestran al visitar este blog. Por todo esto, ¡muchas gracias a todos!

Y también me voy a felicitar a mi mismo porque la decisión que tomé aquella tarde del 16 de octubre de 2007, cuando aparecieron los tres primeros párrafos del blog, me permitió encontrar poco después a unas personas extremadamente queribles, valiosas e importantes para mi... y estoy muy contento de que eso haya ocurrido.

Agrego, aceptando el riesgo de ser demasiado extenso, que estoy seguro de que todos los que nos leemos y escribimos con frecuencia nos conocemos, pese a la distancia, a un nivel superior al que creemos conocer a buena parte de las personas con las que nos relacionamos diariamente. Y eso me parece muy significativo.

Para terminar este párrafo les envío a todos un fuerte abrazo desde Buenos Aires y mi esperanza de que nos sigamos escribiendo, leyendo y comprendiendo un poco más cada día. Nuevamente, muchas gracias.

Roberto.

250. ¡Muchas gracias!

Como saben, este blog no estuvo disponible durante un día, entre el viernes 10 y el sábado 11. Les agradezco a todos los amigos que mostraron su preocupación por este hecho. Afortunadamente, el equipo de Google pudo subsanar rápidamente el problema que se produjo con el correo electrónico al que está adherido el blog. Ignoro la causa exacta de la dificultad que hubo con mi correo, pero estimo que alguna línea del programa que analiza el funcionamiento de las cuentas de correo contiene algún error que sería bueno corregir a la brevedad.

En fin... pienso que ahora podemos seguir dedicándonos a la encuesta que propuse en el párrafo 248 para festejar las 30000 visitas al blog.

Un abrazo a todos.

249. Un poco de música...

... mientras pensamos los comentarios a la propuesta del párrafo 248.

248. Me parece...

Me parece que tenemos que ir pensando en algún tipo de fiesta blogosférica para el momento en que se cumplan las 30000 visitas a este blog. Los lectores menos recientes saben que estas celebraciones incluyen algún tipo de reflexión, del autor o de los lectores, o algún concurso... todas estas actividades "intelectuales" ocurren, naturalmente, porque no es del todo fácil reunirse físicamente en algún lugar y "tirar la casa por la ventana" (se dirá así fuera de la Argentina...?).

Pues bien, esta vez he pensado en la posibilidad de hacer entre todos una encuesta sobre qué cosas nos gustan en diferentes áreas, pienso por ejemplo en que cada uno seleccione de una a tres melodías populares que le gustan mucho y, también con la idea de que sean entre una y tres opciones, podríamos seleccionar obras de música clásica, libros, películas... y así siguiendo. Se me acaba de ocurrir que las áreas mismas podrían elegirse por vía de encuesta. Así cada uno podría expresar, por ejemplo, "me gustaría que las áreas fueran estas siete que les enumero ahora y en ellas elijo... bla bla bla". Si uno viese aparecer en el comentario de otro algún tema que no se le había ocurrido incluir podría decir "ah, y en esta nueva área que agregó Pepe elijo A y B como mis preferidas" (digamos... siempre de una a tres, si eso les parece correcto).

Estoy bastante convencido de un par de cosas: una es que, evidentemente, sería interesante ver qué elige cada uno y la otra es que algunas elecciones serían posiblemente inesperadas para los demás participantes de la encuesta y podrían dar lugar a intercambios de ideas de variado tenor. Algunos de mis lectores agregarían: "pero no se pelien".

Bueno, si les parece, empezamos con esto en los comentarios a este párrafo. Tal vez haya más adelante algún tipo de resumen de las elecciones o de las conversaciones en otro párrafo posterior aunque, por supuesto, habrá que ver cómo se va desarrollando esta propuesta.

Primer comentario obvio: "Ay, este tipo siempre nos viene con cosas raras..." Bueno, ya lo dije yo, así que no vale repetirlo literalmente... je je. Además estoy seguro de que lo dicen con frecuencia (pero en voz baja...) mis alumnos.

Un abrazo para todos desde Buenos Aires, donde parecería que ya estamos pasando lo más fuerte del verano. Ah... y no se olviden que hay un acertijo todavía no respondido en el párrafo anterior.

247. Un lindo problemita

Cierta persona va todos los días de su casa al trabajo en auto, recorriendo una carretera tan recta y con tan poco tránsito que puede suponerse que su velocidad es prácticamente constante.
Un día, cuando ya había recorrido las tres cuartas partes del camino, se le pincha un neumático y, exasperado, decide ir a pie hasta el trabajo y dejar para más tarde el cambio por la rueda de auxilio.
Ese día el viaje completo le lleva el cuádruple de lo habitual.
Cuál es la relación que existe entre la velocidad (V) del auto en su viaje de todos los días y la velocidad (v) de esta persona cuando caminó ese día.
En resumen, se pide el cociente V/v.

Dos comentarios:

1. La elección de una buena notación permite resolver este problema en un renglón.

2. Un problema parecido a éste lo vi en un blog de acertijos que no pienso publicitar aquí pero que algunos de mis lectores conocen. Ocurre que allí los enunciados (algunos realmente muy interesantes...) están redactados muchas veces de manera ambigua de modo que su autor obtiene respuestas incorrectas de sus lectores. Yo respondí varios de esos acertijos hace un mes y, aunque el autor sigue publicando unos nuevos con frecuencia, no se digna a responder (la gran mayoría de las veces) acerca de la corrección o no de las respuestas que va recibiendo de sus lectores. En mi caso, no recibí respuesta alguna... bueno, en realidad, ni siquiera publicó mis propias respuestas ya que el blog tiene moderación de comentarios. El problema en el que está inspirado el que les relato más arriba fue planteado allí con tal ambigüedad que ya recibió una respuesta obviamente incorrecta de un lector... quien tampoco tuvo respuesta alguna del autor.
Teniendo todo esto en cuenta, les aseguro que si súbitamente le surgiera al autor de marras un cierto amor por el contenido de su blog y la relación con sus lectores y hablara de copyright... lo mandaría a freír espárragos a la Corte Internacional de La Haya, lo cual seguramente hará con gran perfección.

246. Oh...!

Nella fantasia

Nella fantasia io vedo un mondo giusto,
Li tutti vivono in pace e in onestá.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano,
Pien' d'umanità in fondo all'anima.

Nella fantasia io vedo un mondo chiaro,
Li anche la notte é meno oscura.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano.

Nella fantasia esiste un vento caldo,
Che soffia sulle cittá, come amico.
Io sogno d'anime che sono sempre libere,
Come le nuvole che volano,
Pien' d'umanitá in fondo all'anima.

245. La solución

Aquí les muestro el enunciado y un resumen de la solución del problema propuesto en el párrafo 243. En esa solución la Física ocupa solo el primer renglón, el resto es definir con una notación adecuada la M y la N cuya relación se intenta encontrar y luego manipular un poco las expresiones que van apareciendo. Algunos pasos muy simples, como por ejemplo dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número o efectuar el producto de dos raíces transformándolo en la raíz del producto de sus radicandos, se han suprimido.
Para ver bien la solución, al menos en mi máquina, es conveniente ampliar un poco la figura.

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio de altura H. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre un cierto segmento central de su trayectoria de longitud H/M (donde M es un número real) en un tiempo igual al cociente T/N realizado entre el tiempo total T de caída desde la terraza y otro número real N. Encuentre una fórmula que permita calcular M, tomando N como único dato. Esto significa, en términos físicos, encontrar la fracción que se forma con las longitudes teniendo tan solo el conocimiento de la fracción que se forma con los tiempos.
Nota: defino "segmento central de la trayectoria" a cualquiera que posea la distancia entre su extremo superior y la terraza idéntica a la distancia entre su extremo inferior y la vereda.
Otra: no está de más comprobar con algunos valores numéricos la corrección de la fórmula que obtenga antes de publicarla.

244. Dibujamos...?

En la figura vemos un polígono regular de 9 lados con todas sus diagonales. ¿Será posible dibujar todo el esquema (lados y diagonales) sin levantar el lápiz (obviamente, sin pasar más de una vez sobre cada segmento) y cambiando de dirección tan solo en los vértices? Bueno, sí es posible: hay un teorema que prueba que eso es posible en todos los polígonos de número impar de lados e imposible en todos los de número par. Una historia diferente es encontrar cómo hacerlo. Una manera de indicar como hizo cada uno ese dibujo es simplemente dar una secuencia de letras que representan los vértices que hemos tocado con el lápiz. Un ejemplo, si es que comenzamos por el vértice a: a e g h ... ... ... así hasta el final. Se trata de dibujar 36 segmentos consecutivos así que la secuencia tendrá, necesariamente, 37 letras. Una sugerencia es entrenarse primero con los polígonos de 5 y 7 lados que son casos bastante simples. Ocurre que recientemente creo haber descubierto que aquellos polígonos con número impar de lados pero donde ese número no es primo (como es el caso del 9, el 15, etc) han de generar esquemas de lados y diagonales más difíciles de dibujar sin levantar el lápiz que en el caso contrario donde el número es primo. La verdad es que al momento todavía no estoy absolutamente convencido de esto último.

Entendido todo esto, propongo como concurso que mis lectores ofrezcan como solución esa secuencia de 37 letras que representa al dibujo realizado, sin levantar el lápiz, de todas las diagonales y todos los lados del eneágono regular que se ve más arriba. La solución evidentemente no es única así que yo tendré que rehacer el dibujo sobre la base de la secuencia ofrecida.

El premio será el título atemporal y universal de "Gran Dibujante Poligonal".

Espero que lo intenten... sobre todo después del trabajo que me llevó hacer el dibujito jeje...

Mucha suerte para todos. Aprovecho para recordarles que el concurso del párrafo 243 todavía está abierto.

243. Parecido...?

Para movilizar un poco las neuronas después de los festejos de fin de año, les voy a proponer enseguida un problema (del que soy autor) cuyo texto es muy similar al de la entrada 241 pero de resolución bastante más trabajosa. Aunque recorre las ideas más elementales de la cinemática unidimensional, a mí (tal vez debido a los festejos antes citados...) me llevó un tiempo considerable obtener el resultado.

El premio para el primero que lo resuelva será, como se acostumbra aquí, un título que podrá usar sin límite de tiempo: "Habilísimo Solucionador de Problemas Físico-Matemáticos".

Suerte para todos.

El problema:

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio de altura H. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre un cierto segmento central de su trayectoria de longitud H/M (donde M es un número real) en un tiempo igual al cociente T/N realizado entre el tiempo total T de caída desde la terraza y otro número real N. Encuentre una fórmula que permita calcular M, tomando N como único dato. Esto significa, en términos físicos, encontrar la fracción que se forma con las longitudes teniendo tan solo el conocimiento de la fracción que se forma con los tiempos.
Nota: defino "segmento central de la trayectoria" a cualquiera que posea la distancia entre su extremo superior y la terraza idéntica a la distancia entre su extremo inferior y la vereda.
Otra: no está de más comprobar con algunos valores numéricos la corrección de la fórmula que obtenga antes de publicarla.

242. ¡Feliz Navidad!

Va un gran abrazo para todos mis lectores y mi deseo de una feliz Navidad y un excelente 2012 para todos.

241. ¿Más cálculos...?

Les cuento que en esta época en la que debo escribir numerosos exámenes existen muchos bonitos problemas que se descartan ya sea porque algún profesor opina que es demasiado fácil o demasiado difícil o porque no va con el espíritu general de lo que debe evaluarse en determinada materia.
Aquí va uno de esos problemas para el que espero que resuelvan las siguientes preguntas:
1. Cuál es el resultado.
2. A qué nivel estaba destinado, ingreso universitario, Mecánica elemental (I año) o Mecánica más avanzada (II o III año).

El problema:

Juan suelta una piedra sin velocidad inicial desde la terraza de un edificio. Pedro, que se encuentra en la vereda con un cronómetro muy preciso, detecta que la piedra recorre los últimos 10 metros de su trayectoria en la séptima parte del tiempo total de caída desde la terraza. Determine la altura H a la que se encuentra la terraza. Dé su resultado con tres cifras decimales.

240. Un problema para el fin de semana

Recientemente tomé un examen de Matemática donde puse un problema que enseguida les voy a transcribir. Lo interesante de ese problema no era su extrema dificultad, como quienes que me conocen podrían pensar, sino el hecho de que se lo podía resolver de muy distintas maneras ya que existían diferentes caminos según cómo se enfocara la situación que allí se planteaba. Así que, sin más trámite, se los muestro y espero sus respuestas con una breve descripción de cómo lo pensaron. Como siempre hay grandes premios para quienes acierten... en especial, esta vez, un Gran Súper Prestigio Internacional, por supuesto Atemporal, para dos personas: el primero en responder correctamente y el que ofrezca el fundamento más interesante, esto quiere decir, uno en el que yo no haya pensado... je je. Un comentario adicional: en este momento estamos empezando en la Argentina un fin de semana larguísimo, de cuatro días, así que recién el lunes leeré en detalle sus propuestas, aunque tal vez pueda darles un vistazo antes.
Suerte para todos y aquí va:

Ana y Bonifacio llegan a su casa y encuentran una torta de chocolate recién hecha. Ana se sirve una porción igual a un quinto de la torta y Bonifacio, una porción igual a un séptimo. Más tarde, van por otro pedazo más. De lo que ha quedado, Ana toma un quinto y Bonifacio un séptimo. Esta situación se repite varias veces hasta que sólo quedan unas miguitas.
Calcule qué fracción (o qué porcentaje) del total de la torta ha comido cada uno. Realice el cálculo por el método que crea más conveniente. Fundamente apropiadamente la validez del procedimiento elegido.

239. Verano en Buenos Aires

Como les conté en el párrafo anterior, pensaba tomar unas fotos que ilustraran sobre la primavera en Buenos Aires. Recorrí varias zonas que eran candidatas a presentar un buen aspecto pero los árboles que florecen en primavera ya habían dejado caer sus flores y en la plaza que recorrí estaba el jardinero renovando las plantitas. Con treinta grados a la sombra y un tanto frustrado retorné rápidamente al aire acondicionado de la oficina, pensando que lo que había visto era más bien "Verano en Buenos Aires".

Les muestro dos fotos del paseo y una más, tomada en otro momento, con su ampliación; lo que se ve en éstas no es una flor sino lo que técnicamente se denomina una inflorescencia. Hay una novela famosa (escrita en inglés) relacionada con ella, pero su título en castellano no lo deja saber. Así que tendrá un reconocimiento internacional invalorable y atemporal quien responda lo siguiente:

1. Cómo se llama la plantita.
2. El título de la novela y su autor.

238. Primavera en Buenos Aires

Los lectores habituales ya han visto en las entradas 76 y 203 imágenes muy parecidas a la que se ve detrás del título del blog. Pero, inspirado en el comentario de Víctor a la entrada 237, va este cambio en el diseño como un anticipo de las fotos pedidas de la primavera en Buenos Aires. Les comento que ando con la cámara en el bolsillo así que es muy probable que pronto aparezca aquí algo más variado. Sobre el clima les agrego que estos últimos días han sido más bien de verano que de primavera: muy soleados y con temperaturas máximas algo por encima de los treinta grados.
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

237. Otoño en Madrid

Estas bellísimas fotos que nos muestran los colores del otoño en Madrid han sido tomadas por mi amigo Víctor cuyo muy interesante blog he citado aquí varias veces. Víctor ha tenido la enorme gentileza de cederme dos de las fotografías que recientemente ha publicado. ¡Muchas gracias!

236. 27 de octubre de 1951

235. Resolución del concurso

Historia del concurso

En el párrafo 227 publicado el 30 de agosto de 2011 dejé planteado un concurso sobre un tema de geometría.

En los comentarios del párrafo 229 mi gran amigo Fernando, quien anteriormente firmaba Coriolis, deja prácticamente la respuesta a los cuatro planteos propuestos y sugiere que algún lector complete los cálculos.

Por último en el párrafo 234 incluyo una ayuda gráfica para sugerir un camino hacia la resolución completa del problema.

Resolución del concurso

Teniendo en cuenta el tiempo transcurrido, creo que es el momento de publicar la solución del problema, que es la siguiente:

1. Caso N = 7. De la observación de la figura que contiene siete circulitos que se muestra en el párrafo 234, se deduce que sus diámetros son la tercera parte del diámetro del círculo mayor. Como la fórmula de la superficie (que no haría falta conocer...) forzozamente debe incluír el cuadrado del diámetro (teniendo en cuenta que las unidades de superficie se forman con el cuadrado de las unidades de longitud) la superficie de cada círculo menor es un noveno de la superficie del círculo mayor. Eso significa 36/9 = 4, en centímetros cuadrados.

2. Caso N = 4. De la figura que contiene cuatro circulitos en el párrafo 234 se deduce con un poco de trigonometría la fórmula propuesta por Fernando en el párrafo 229 (o alguna similar...) para el cociente entre el diámetro menor y el mayor. Elevándola al cuadrado se obtiene la relación entre la superficie del círculo menor y la del círculo mayor que da 0,171573. Luego 0,171573 multiplicado por 36 da aproximadamente 6,1766, en centímetros cuadrados.

3. La propuesta adicional sobre qué hacer para N (número de círculos menores) relativamente grande... pensemos en N mayor que 50: a mí se me ocurre que aquí se podría calcular primero qué fórmula tiene la superficie de un hexágono regular que circunscriba a un círculo de radio r y calcular ese valor de r suponiendo que en un círculo de 36 centímetros cuadrados caben exactamente N de esos hexágonos. El pequeño error que existe en ese procedimiento proviene de lo siguiente: al recubrir una circunferencia con hexágonos, si bien pueden encajar perfectamente entre sí, quedan unos "huequitos" junto al borde del círculo mayor.

4. La propuesta adicional sobre por qué hasta N = 8 la solución es relativamente simple pero se complica para valores superiores, en mi opinión se responde así: para N entre 1 y 8 basta observar las figuras que se muestran en el párrafo 234 para aceptar, dada su alta simetría, que son óptimas en cuanto al hecho de que no parece posible ubicar círculos más grandes que los dibujados ahí dentro de otro de superficie dada. A partir de 9 o tal vez de 10, como dice Fernado en el párrafo 229, aparece la opción (que se debería comprobar si es o no es posible) de poner dos círculos rodeados por una corona formada por los N-2 restantes u otras soluciones más complejas (tal vez asimétricas) para valores de N aún más grandes. Ahora bien, para valores muy grandes de N siempre se podría aproximar muy bien el resultado pedido con lo propuesto más arriba en el punto 3 de este mismo párrafo.

Pronto habrá otros concursos. Mantengan un poco de papel cerca y afilado el lápiz.

Va un abrazo para todos desde Buenos Aires.

234. Para resolver el problema del concurso

En el párrafo 227 dejé planteado un problema de geometría que tal vez requiera un poco más de información para que se pueda resolver. Así que esa información va más abajo en forma de dibujos.

Saludos a todos.

233. Dieciséis de octubre de 2007

Como mis lectores saben, hace ya bastante tiempo que abandoné la costumbre de escribir un largo texto cada vez que el blog recibía un nuevo millar de visitas y dejé esa posibilidad para los poco frecuentes momentos en que el contador pasa por números terminados en cuatro ceros. Pero hoy el blog cumple cuatro años desde un lejano 16 de octubre de 2007 y quiero escribir un breve párrafo. En aquella fecha tuve la audacia de empezar a relatar lo que pensaba sobre diferentes temas para una audiencia que en un principio era un concepto totalmente difuso en mi cabeza: "los lectores". Decía: bueno... alguien me leerá. Digo esto porque creo que también sería totalmente legítima la idea de algún autor de blogs que escribiera para sí mismo, y recorriendo internet he encontrado también alguna vez esa propuesta. Como les decía, yo siempre escribí para esos "lectores" a los que me refería más arriba. Ocurre que pasados estos cuatro años ahora puedo decir que escribo para "Mis Lectores", con mayúsculas, y puedo decir también que son "Mis Amigos" y que, naturalmente, han dejado de ser ese concepto difuso de aquella primera época. Y me gustaría agregar, parafraseando en el buen sentido a Serrat, que he dado con lo mejor de cada continente... y lo digo absolutamente en serio. No voy a nombrar ahora a cada uno de mis lectores habituales ya que, con un defecto que parece estar ligado a mi profesión, me olvidaría de dos o tres como quien se olvida un signo menos en una ecuación... ¡pero con diferentes consecuencias!, así que tan solo le digo a Cada Uno de Ustedes (o de Vosotros...) que los abrazo muy fuerte y que los llevo sobre mi corazón.

Roberto.