339. Primer concurso del año

Vamos a ver quién desea ser el ganador del primer concurso del año.

Ocurre que se multiplican cinco números consecutivos y el resultado es

2 039 559 412 225 476 960

¿Cuáles son esos números?

El premio que se ofrece es el de Eximio Multiplicador Universal, con validez eterna... evidentemente sólo aquí se ofrecen premios similares.

¡Mucha suerte!

(Se sugiere relatar el método usado para obtener la respuesta)

332. Un problema difícil...

Hoy desafío a mis lectores con un problema un poco más difícil que lo habitual.
En la figura muestro un círculo de 2 metros de diámetro. Se desea saber el ancho de cada franja si al cortar el círculo con las líneas rectas que limitan esas franjas se lo divide en tres regiones de igual área.
Sugiero dar los resultados expresados en milímetros para evaluar rápidamente si son correctos.
El primero que obtenga con precisión esos resultados recibirá el título, universal y atemporal, de "Discípulo Principal de Arquímedes y Euclides".
Suerte para todos.
Me parece que nadie más propone en Internet fabulosos premios como los que aquí se ofrecen...

330. Para calcular

Para mover un poco las neuronas durante estas vacaciones de verano en el hemisferio Sur, les propongo resolver el siguiente problema:

Como se muestra en la figura, se inscribe un cuadrado en un semicírculo. Determine el cociente de longitudes a/b. Dé su respuesta con seis decimales.

El primero que ofrezca la respuesta correcta habrá ganado el gran premio: un diploma, que será universal y atemporal, de "Perfecto y Exacto Medidor de Longitudes Extrañas".

Mucha suerte para todos.

326. Algo de geometría...

Se cree que los habitantes del satélite Titán de Saturno son muy aproximadamente círculos planos de muy pequeño espesor... pero de radios muy variados. En la figura vemos al Emperador de Titán paseando por las cercanías de su palacio rodeado de sus tres enormes guardaespaldas. Se desea determinar el cociente de los respectivos radios: (radio del Emperador/radio de cada guardaespaldas). Los lectores que quieran ofrecer un resultado de ese cálculo sería bueno que lo hagan con seis cifras decimales (millónésimos) para poder compararlos apropiadamente y otorgar el Gran Premio Intergaláctico: "Calculista Perfecto de Seres Extraterrestres" con validez universal y atemporal.

¡Buena suerte en sus cálculos!

319. Extraña simetría

Para empezar a mover las neuronas después de las fiestas propongo observar la siguiente secuencia de cifras:

1 3 5 3 1,

y responder: ¿qué podemos hacer con ellas para producir el número de nuestro año recién estrenado?

El primero que acierte con la respuesta recibirá el título de "Gran Observador de Extrañas Simetrías", con validez universal y eterna.

Un abrazo desde Buenos Aires.

314. Cuadrados y triángulos

La figura muestra dos cuadrados idénticos superpuestos luego de girar 45 grados uno de ellos. Se forman así ocho triángulos idénticos. Se desea saber el área de cada triángulo con el único dato de que cada uno de los cuadrados tiene un área de 1 metro cuadrado.

Quien resuelva el acertijo obtendrá el título de "Eximio Cuantificador de Áreas Extrañas" con validez universal y eterna.

¡Suerte para todos!

313. Enumerar no es tan fácil...

Un resumen breve del primer párrafo del libro de Ralph Grimaldi sobre Matemática Discreta sería: enumerar o contar no es tan fácil como podría pensarse. Sobre ese tema les propongo calcular cuántos números naturales (enteros positivos) carecen de cifras repetidas en su representación en base 10 (la habitual).

Como siempre, se ofrece un premio superespecial... intergaláctico digamos: el título de "El nuevo Pitágoras del siglo XXI", con validez universal y eterna.

Mucha suerte para todos.

308. Geometría para el fin de semana

Un pequeño acertijo para mis lectores.

Dentro de una esfera hueca con un volumen interno de un metro cúbico se ubica el cubo más grande que sea posible. Se desea saber el volumen de ese cubo, expresándolo en metros cúbicos con seis decimales.

Se declarará al primero en dar la respuesta correcta "Gran Geómetra Tridimensional", título con validez atemporal y universal.

Espero sus respuestas.

305. Geometría para todos

Les propongo resolver el siguiente acertijo:

Un profesor de Matemática ha recortado numerosos círculos de cartón de 10 centímetros cuadrados de superficie. Dibuja en una hoja de papel un círculo de 80 centímetros cuadrados de superficie y en su centro ubica uno de los círculos de cartón. Se pregunta cuántos más podrá ubicar sin que sobresalgan del borde del círculo dibujado o se superpongan (aun parcialmente) entre sí o con el colocado inicialmente en el centro.

El primero en resolver el acertijo, además del placer que conlleva haberlo resuelto, obtendrá un premio muy especial: el título universal y atemporal de "Gran Geómetra, Digno Seguidor de Euclides".

Suerte para todos.

304. ¿Fácil o difícil...?

Sinceramente me cuesta evaluar el grado de dificultad del acertijo que les voy a proponer; entonces les sugiero enviar, además de la respuesta, una opinión sobre su dificultad y cómo lo han resuelto.

Dice así: La multiplicación de tres números impares consecutivos da 7066826883, ¿cuáles son esos números?

Naturalmente, en esta época muy pocos creemos en los premios virtuales, pero voy a continuar proponiendo títulos universales y atemporales. Esta vez quien resuelva el acertijo será "Grande y Perfecto Multiplicador, Seguidor Indudable de Pitágoras y Fibonacci".

Suerte para todos.

Un abrazo desde Buenos Aires.

301. Para calcular...

A mis lectores interesados en acertijos físicos o matemáticos les propongo calcular el cociente entre el área del pentágono azul y el área del pentágono rojo. Ambos son regulares y el rojo tiene sus vértices en los puntos medios de los lados del azul.

¡Que se diviertan!

¡Mucha suerte!

293. Un número muy especial

Les presento el siguiente acertijo matemático:

Se tiene un cierto número cuya escritura termina en la cifra 7 (o sea, 7 en el lugar de las unidades). Si se retira esa cifra 7 y se la ubica a la izquierda de la primera cifra de la izquierda, el número original se cuadruplica.
¿Cuál es el número original?

El primero en enviar la respuesta correcta recibirá el título de "Gran Multiplicador", con validez universal y atemporal.
¡Suerte para todos!

287. La solución

Como pueden ver en los comentarios al párrafo 286, ya fue resuelto el problema planteado. Les muestro cómo se ve el cuadrado propuesto, que tenía que tener una superficie de 34 centímetros cuadrados. La solución no es única y la figura que tenía preparada no corresponde con la variante elegida por quien resolvió el problema. Observen que cada línea dibujada en el diagrama corta por la mitad a un rectángulo de 15 centímetros cuadrados, así que tenemos cuatro veces la mitad de 15. Luego agregamos el cuadrado pequeño que está en el centro con sus 4 centímetros cuadrados y obtenemos 30 + 4 = 34, como se pedía.
Saludos a todos y felicitaciones a quien resolvió el problema.

286. Un cuadrado

Propongo resolver el siguiente ejercicio:

En la figura se muestra una colección de puntos. La distancia más pequeña entre puntos es de 1 centímetro. Hay que elegir cuatro puntos y unirlos con cuatro segmentos para formar un cuadrado perfecto con una superficie de 34 centímetros cuadrados. Indique los puntos elegidos mediante sus coordenadas.

Espero sus respuestas.

268. Observación

La figura muestra el aspecto de los triángulos que corresponden a la respuesta del problema de la entrada 266.

Pueden ver las respuestas de los problemas planteados en las entradas 266 y 267 en los comentarios respectivos... pero... obseven que si estudiamos ambos resultados pasa algo muy interesante: el resultado del 266 nos dice que el lado igual mide L = raíz cuadrada de 5 = 2,236 metros; por su parte, el resultado del 267 afirma que si L fuese 1 metro, la base que maximiza el área sería la raíz cuadrada de 2 = 1,414 metros, o sea 1,414 veces más grande que L. Combinando ambos resultados, y usando la regla de tres simple (o proporcionalidad directa), se obtiene que si L, la del resultado del 266, se hubiera puesto como dato en el 267 daría una base de 2,236 metros por 1,414 = 3,162 metros ¡que es casi exactamente el valor propuesto por Víctor para maximizar el área en el cuarto comentario de la entrada 266 hace ya una semana!

Víctor proponía para la base del triángulo un valor 3 metros y, resumiendo un poco su idea, se trataba del promedio entre 2 y 4, que eran valores para la base si se exigía igual superficie y, además, mantener el lado igual sin cambios en cierto valor L.

Hay una razón para esa excelente aproximación: ocurre que cerca de un máximo las funciones matemáticas suelen ser bastante simétricas (ya que muchas veces se parecen a parábolas invertidas) y, entonces, el máximo casi equidista de aquellos valores de la variable que producen igual resultado, como en nuestro caso: 3 está a una unidad de 2 y también de 4... como pueden ver en el mismo comentario que cité más arriba.

Para los expertos que leen el blog: esto ustedes suelen llamarlo "Polinomio de Taylor".

Saludos a todos y nuevamente felicitaciones a Víctor.

267. Unas ideas interesantes

Como saben, el problema planteado en el párrafo 266 todavía espera solución. Sin embargo, nuestro amigo Víctor envió un comentario tan interesante sobre propiedades matemáticas de la situación ahí mostrada que decidí dos cosas: la primera es otorgarle el premio que se proponía al que resolviera el problema, reservando otro premio idéntico para quien envíe efectivamente los dos números que aparecen como incógnitas; y la segunda es redactar un problema sobre las ideas sugeridas por Víctor en su comentario. Pueden leer los comentarios al párrafo 266 y enseguida va el nuevo problema.

Un triángulo isósceles tiene la longitud de cada uno sus dos lados iguales dada por cierto número L, pueden pensar que es un metro pero esa, por supuesto, no es la respuesta al problema anterior.
¿Cuál debe ser la longitud del lado desigual (llamémoslo base) para que la superficie del triángulo sea la máxima posible?
Los que toman el dato como L = 1 metro deben ofrecer como resultado la longitud de la base que cumple con la propuesta. Quienes, en cambio, prefieran llamarlo simplemente L deben dar una relación matemática entre B (la base) y L (la longitud de cualquiera de los lados iguales).

Mucha suerte para todos y no se olviden del problema anterior.

266. Dos triángulos muy raros...

Tengo entendido que hay un cierto grupo de mis lectores a quienes les interesa resolver problemas. Para ellos, entonces:

Se tiene un triángulo isósceles. No se puede cambiar la longitud L de cada uno de sus lados iguales pero el desigual se puede elegir con la longitud que se desee. Cuando se lo elige de dos metros de largo resulta que el triángulo tiene una cierta superficie S. La extraña situación es que si se lo elige de cuatro metros de largo el triángulo tiene la misma superficie S. ¿Cuánto vale la longitud L? ¿Cuánto resulta ser la superficie S, en metros cuadrados?

Se sugiere responder ambas preguntas utilizando números con varios decimales.

El premio es el título eterno de Gran Geómetra Universal.

Suerte para todos.

265. Pentágonos

Este problema creo que no es demasiado fácil... pero ya veremos qué opinan mis lectores.

La figura muestra dos pentágonos regulares, el rojo generado con las diagonales del azul. Se desea saber el cociente que resulta de dividir el área del pentágono azul por el área del pentágono rojo. Sugiero que como respuesta se ofrezca un número con seis decimales. Aclaro que en el cálculo del área del pentágono azul  éste debe considerarse completo, es decir, no debe excluirse el sector que comparte con el pentágono rojo. Insisto: el rojo no "funciona" como un "agujero" del azul.

Se premiará a quien envíe el primer resultado correcto y, además, a quien envíe una solución con un desarrollo "elegante",  aunque no sea el primero. Propongo esta posibilidad porque, después de pensar un buen rato, pude obtener el resultado pedido mediante un desarrollo "tosco", que no me termina de agradar, y me gustaría ver algo mucho mejor.

Los premios, como de costumbre, no son materiales. Esta vez ambos premios consisten en el título de "Gran Geómetra", válido en el universo completo y sin límite de tiempo.

Suerte para todos.

263. Para pensar un rato

Ocurre que, a veces, quienes nos dedicamos a la docencia tenemos tal grado de entrenamiento en lo que hacemos habitualmente que todo nos parece demasiado fácil y nos cuesta ponernos en el lugar del alumno que resuelve nuestros planteos en un examen.
Concretamente, yo dudaba si poner o no el problema que enseguida les relato porque me parecía "demasiado fácil". Bueno, ustedes me dirán cómo lo ven. Aquí va:

"Consideremos dos triángulos de igual superficie. Uno de ellos equilátero (sus tres lados iguales) y el otro isósceles (dos lados iguales y, en este caso, el otro diferente). Llamemos "base" al lado diferente del segundo triángulo. Si se sabe que la base del triángulo isósceles tiene una longitud igual a la mitad del lado del triángulo equilátero, ¿cuánto vale la razón (o cociente) que se forma entre la longitud de uno de los lados iguales del isósceles y la longitud del lado del equilátero?"

O sea que en este problema se pide como resultado un número puro, sin unidades, ya que proviene del cociente de dos longitudes.

Espero dos respuestas de los lectores:

1. Cuál es el resultado.
2. Cómo evalúan el grado de dificultad del problema.

Para evitar confusiones, sugiero que la respuesta venga dada por un número con tres cifras decimales o mediante una fracción, si eso fuera posible. Y en cuanto al grado de dificultad, podría decirse a qué nivel de enseñanza podría ser propuesto.

Como de algún modo esto es también un concurso, debe haber un premio: el título de "Gran Evaluador" con validez universal y atemporal.

Un saludo cálido a todos desde una muy fría Buenos Aires.

244. Dibujamos...?

En la figura vemos un polígono regular de 9 lados con todas sus diagonales. ¿Será posible dibujar todo el esquema (lados y diagonales) sin levantar el lápiz (obviamente, sin pasar más de una vez sobre cada segmento) y cambiando de dirección tan solo en los vértices? Bueno, sí es posible: hay un teorema que prueba que eso es posible en todos los polígonos de número impar de lados e imposible en todos los de número par. Una historia diferente es encontrar cómo hacerlo. Una manera de indicar como hizo cada uno ese dibujo es simplemente dar una secuencia de letras que representan los vértices que hemos tocado con el lápiz. Un ejemplo, si es que comenzamos por el vértice a: a e g h ... ... ... así hasta el final. Se trata de dibujar 36 segmentos consecutivos así que la secuencia tendrá, necesariamente, 37 letras. Una sugerencia es entrenarse primero con los polígonos de 5 y 7 lados que son casos bastante simples. Ocurre que recientemente creo haber descubierto que aquellos polígonos con número impar de lados pero donde ese número no es primo (como es el caso del 9, el 15, etc) han de generar esquemas de lados y diagonales más difíciles de dibujar sin levantar el lápiz que en el caso contrario donde el número es primo. La verdad es que al momento todavía no estoy absolutamente convencido de esto último.

Entendido todo esto, propongo como concurso que mis lectores ofrezcan como solución esa secuencia de 37 letras que representa al dibujo realizado, sin levantar el lápiz, de todas las diagonales y todos los lados del eneágono regular que se ve más arriba. La solución evidentemente no es única así que yo tendré que rehacer el dibujo sobre la base de la secuencia ofrecida.

El premio será el título atemporal y universal de "Gran Dibujante Poligonal".

Espero que lo intenten... sobre todo después del trabajo que me llevó hacer el dibujito jeje...

Mucha suerte para todos. Aprovecho para recordarles que el concurso del párrafo 243 todavía está abierto.