236. 27 de octubre de 1951

235. Resolución del concurso

Historia del concurso

En el párrafo 227 publicado el 30 de agosto de 2011 dejé planteado un concurso sobre un tema de geometría.

En los comentarios del párrafo 229 mi gran amigo Fernando, quien anteriormente firmaba Coriolis, deja prácticamente la respuesta a los cuatro planteos propuestos y sugiere que algún lector complete los cálculos.

Por último en el párrafo 234 incluyo una ayuda gráfica para sugerir un camino hacia la resolución completa del problema.

Resolución del concurso

Teniendo en cuenta el tiempo transcurrido, creo que es el momento de publicar la solución del problema, que es la siguiente:

1. Caso N = 7. De la observación de la figura que contiene siete circulitos que se muestra en el párrafo 234, se deduce que sus diámetros son la tercera parte del diámetro del círculo mayor. Como la fórmula de la superficie (que no haría falta conocer...) forzozamente debe incluír el cuadrado del diámetro (teniendo en cuenta que las unidades de superficie se forman con el cuadrado de las unidades de longitud) la superficie de cada círculo menor es un noveno de la superficie del círculo mayor. Eso significa 36/9 = 4, en centímetros cuadrados.

2. Caso N = 4. De la figura que contiene cuatro circulitos en el párrafo 234 se deduce con un poco de trigonometría la fórmula propuesta por Fernando en el párrafo 229 (o alguna similar...) para el cociente entre el diámetro menor y el mayor. Elevándola al cuadrado se obtiene la relación entre la superficie del círculo menor y la del círculo mayor que da 0,171573. Luego 0,171573 multiplicado por 36 da aproximadamente 6,1766, en centímetros cuadrados.

3. La propuesta adicional sobre qué hacer para N (número de círculos menores) relativamente grande... pensemos en N mayor que 50: a mí se me ocurre que aquí se podría calcular primero qué fórmula tiene la superficie de un hexágono regular que circunscriba a un círculo de radio r y calcular ese valor de r suponiendo que en un círculo de 36 centímetros cuadrados caben exactamente N de esos hexágonos. El pequeño error que existe en ese procedimiento proviene de lo siguiente: al recubrir una circunferencia con hexágonos, si bien pueden encajar perfectamente entre sí, quedan unos "huequitos" junto al borde del círculo mayor.

4. La propuesta adicional sobre por qué hasta N = 8 la solución es relativamente simple pero se complica para valores superiores, en mi opinión se responde así: para N entre 1 y 8 basta observar las figuras que se muestran en el párrafo 234 para aceptar, dada su alta simetría, que son óptimas en cuanto al hecho de que no parece posible ubicar círculos más grandes que los dibujados ahí dentro de otro de superficie dada. A partir de 9 o tal vez de 10, como dice Fernado en el párrafo 229, aparece la opción (que se debería comprobar si es o no es posible) de poner dos círculos rodeados por una corona formada por los N-2 restantes u otras soluciones más complejas (tal vez asimétricas) para valores de N aún más grandes. Ahora bien, para valores muy grandes de N siempre se podría aproximar muy bien el resultado pedido con lo propuesto más arriba en el punto 3 de este mismo párrafo.

Pronto habrá otros concursos. Mantengan un poco de papel cerca y afilado el lápiz.

Va un abrazo para todos desde Buenos Aires.

234. Para resolver el problema del concurso

En el párrafo 227 dejé planteado un problema de geometría que tal vez requiera un poco más de información para que se pueda resolver. Así que esa información va más abajo en forma de dibujos.

Saludos a todos.

233. Dieciséis de octubre de 2007

Como mis lectores saben, hace ya bastante tiempo que abandoné la costumbre de escribir un largo texto cada vez que el blog recibía un nuevo millar de visitas y dejé esa posibilidad para los poco frecuentes momentos en que el contador pasa por números terminados en cuatro ceros. Pero hoy el blog cumple cuatro años desde un lejano 16 de octubre de 2007 y quiero escribir un breve párrafo. En aquella fecha tuve la audacia de empezar a relatar lo que pensaba sobre diferentes temas para una audiencia que en un principio era un concepto totalmente difuso en mi cabeza: "los lectores". Decía: bueno... alguien me leerá. Digo esto porque creo que también sería totalmente legítima la idea de algún autor de blogs que escribiera para sí mismo, y recorriendo internet he encontrado también alguna vez esa propuesta. Como les decía, yo siempre escribí para esos "lectores" a los que me refería más arriba. Ocurre que pasados estos cuatro años ahora puedo decir que escribo para "Mis Lectores", con mayúsculas, y puedo decir también que son "Mis Amigos" y que, naturalmente, han dejado de ser ese concepto difuso de aquella primera época. Y me gustaría agregar, parafraseando en el buen sentido a Serrat, que he dado con lo mejor de cada continente... y lo digo absolutamente en serio. No voy a nombrar ahora a cada uno de mis lectores habituales ya que, con un defecto que parece estar ligado a mi profesión, me olvidaría de dos o tres como quien se olvida un signo menos en una ecuación... ¡pero con diferentes consecuencias!, así que tan solo le digo a Cada Uno de Ustedes (o de Vosotros...) que los abrazo muy fuerte y que los llevo sobre mi corazón.

Roberto.

232. Doce de octubre de 1492

Mientras recordamos esta fecha tan especial, va un abrazo para todos los lectores desde Buenos Aires.

231. Sobre el párrafo 219

En el párrafo 219 había puesto un link a un video de youtube que por alguna razón ya no existe, así que lo reemplacé por otro con la misma cantante, Sarah Brightman. Les relato esto por dos razones: no solo ocurre que, en mi opinión, este nuevo video es realmente muy bueno sino también pasa que aquel párrafo tenía comentarios, algunos muy específicos respecto de la versión que ahí estaba y algún amigo/comentarista tal vez quisiera cambiarlo o agregar algo. Espero que les guste la canción.

Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

230. Triunfo de San Lorenzo

Pueden ver los tres goles del partido que ganó San Lorenzo 2 a 1 como visitante en el estadio mundialista de Vélez Sarsfield.
Esperemos que esto señale un cambio del funcionamiento del equipo en este campeonato.

(Después de que vean los goles pueden pasar a resolver el concurso del párrafo 227)

Abrazo desde Buenos Aires.

229. Comentarios sobre el concurso

Con respecto al concurso planteado en el párrafo 227, me gustaría comentar algunos detalles:

1. La propuesta principal, que dice:

"Se tiene un disco de 36 centímetros cuadrados de área dentro del cual deben ubicarse N discos menores, iguales, sin superponerse entre sí en parte alguna ni sobresalir del disco mayor. ¿Qué superficie máxima puede tener cada disco menor? Debe darse la solución para N = 4 y N = 7."

está dirigida a todo lector con ganas de sacar punta al lápiz y hacer un poco de geometría. Si alguien está embarcado en buscar la solución de esta propuesta y quiere hacer alguna consulta o buscar alguna ayudita, sería bueno que nos comentara (a mí y a los lectores) por donde va su razonamiento y qué dificultades va encontrando en el desarrollo.

2. Las otras dos propuestas, asociadas con el diseño del problema y con el grado de dificultad que se puede llegar a plantear a quien resuelve, más bien están dirigidas a lectores con cierta experiencia en el diseño y en la resolución de problemas de Matemática. Sus ideas, si bien resultarían en ayudas para la resolución de la propuesta principal, dado el tiempo transcurrido desde el planteo original, serían recibidas con agrado por todos.

Así que, me parece, puede haber actividades interesantes en torno al párrafo 227 para todos... ¡y no olviden los fabulosos premios!

Un abrazo a mis lectores desde Buenos Aires, ya en primavera.

228. Deben verlo

Creo que mis lectores no pueden dejar de ver esto:

http://angellagovillar.blogspot.com/2011/09/confia-en-ti-mismo.html

227. ¿Más geometría?

Sí, otro acertijo geométrico a pedido de algunos lectores.

Se tiene un disco de 36 centímetros cuadrados de área dentro del cual deben ubicarse N discos menores, iguales, sin superponerse entre sí en parte alguna ni sobresalir del disco mayor. ¿Qué superficie máxima puede tener cada disco menor? Debe darse la solución para N = 4 y N = 7.

Propuestas adicionales:

1. En mi opinión, cuando N supera a 9 o 10 la solución se vuelve bastante complicada (por una razón que no puedo expresar aquí ya que sería una ayuda importante en la respuesta de lo planteado más arriba)... ¿alguien tiene alguna idea sobre qué hacer para N relativamente grande?

2. ¿Alguien podría comentar brevemente para los demás lectores la razón por la que para N entre 1 y 8 la solución es bastante más simple que para valores mayores?

Hay grandes premios para los que respondan cada una de las preguntas.

Suerte para todos.

226. Algo de geometría

Para obtener un importante premio, deberá responder qué porcentaje del disco mayor está cubierto por el conjunto de los cinco discos menores. Indique ese porcentaje con tres cifras decimales.

Como en otras ocasiones, el premio consiste en un título que el ganador podrá usar sin límite de tiempo, un premio atemporal, esta vez el de "Gran Geómetra Universal", válido aún fuera del Sistema Solar.

Mucha suerte para todos.

225. Día del amigo

Hoy en la Argentina se festeja el "Día del amigo". En su momento, la fecha se eligió (como en algunos otros países, pero no en todo el mundo) coincidente con la del primer alunizaje tripulado que, como todos recuerdan, fue el 20 de julio de 1969.

Entonces, en esta fecha tan especial quiero enviar un fuerte abrazo a todos los lectores del blog.

Ya que estamos en contacto, aprovecho también la oportunidad para pedirles disculpas por la escasez de texto producido desde aquí, en los últimos tiempos.

¡Feliz día!

Roberto.

224. Concurso sobre problema de examen

Ayer a la tarde, mientras trataba de escribir un problema para examen surgió uno muy interesante, que ahora les propongo resolver.

Aquí va:

"Un pequeño objeto cae verticalmente al suelo desde una altura h, sin velocidad inicial. Para recorrer los primeros 10 metros de su recorrido tarda un tiempo T1 y para recorrer los últimos 10 metros de su recorrido tarda un tiempo T2.
Sólo se conoce el valor del cociente de esos tiempos, n = T1 / T2.
Halle el valor de h.
Dato: n = 7. La aceleración de la gravedad g no es dato."

Para poder evaluar apropiadamente los resultados pido a quienes envíen los suyos expresarlos en metros y con tres cifras decimales.

El premio para estos concursos ya fue comentado aquí alguna vez y está muy relacionado con el extraordinario prestigio internacional que obtienen sus ganadores.

Mucha suerte para todos.

223. Un interesante problema para mañana...

Les cuento que estuvo publicado aquí, por unos minutos, un problema para resolver pero me di cuenta que debo revisar unos detalles antes de publicarlo efectivamente, cosa que haré mañana jueves 14.

Les pido que tengan unas horas de paciencia.

Gracias.

222. El volcán Puyehue

Desde hace unos días está en plena erupción el volcán Puyehue, ubicado en el sur de Chile. Esto ha traído muy graves consecuencias a las ciudades y pueblos ubicados relativamente cerca y que se encuentran respecto del volcán en la dirección que sopla el viento por la continua caída de ceniza. A mayores distancias el efecto no es muy notable a simple vista pero provoca la necesidad de suspender el tráfico aéreo debido a que la ceniza suspendida en la atmósfera es abrasiva y tiende a destruir las turbinas de los aviones. Hasta el momento ha habido cierres temporarios de aeropuertos en Chile, Argentina, Uruguay, Brasil y Paraguay. También hay noticias sobre suspensión de vuelos sobre Australia y Nueva Zelanda. En este último caso no tengo todavía datos sobre cómo llegó la ceniza a esos lugares. Ocurre que las partículas más pesadas son las que caen más cerca del punto donde se generan, pero las más livianas pueden llegar a la estratósfera (estratosfera sin acento para algunos de mis lectores...) y ser arrastradas por los fuertes vientos que hay a esas alturas. Como el viento predominantemente va de Oeste a Este en la estratósfera de cualquier lugar del mundo, me pregunto si la nube de ceniza ya dio toda la vuelta y llegó a Australia por el Oeste o, por alguna razón se movió en sentido diferente al habitual y llegó por el Pacífico o cruzando la Antártida. Si algun lector sabe algo me encantaría que lo comentara aquí.

Pueden ver fotos excelentes de la erupción en http://blogs.publico.es/mesadeluz/4195/el-volcan-puyehue
Una de esas fotos, de AFP PHOTO/CLAUDIO SANTANA, la he copiado al comienzo de esta entrada.

Por supuesto, tengo la cámara en el bolsillo por si veo algo interesante aquí. Sólo vemos por ahora un poquito grisáceo el cielo.

Un abrazo a todos desde Buenos Aires.

221. Satélite argentino

Pueden ver aquí la reseña del reciente lanzamiento del satélite argentino de investigación SAC-D/Aquarius desde la base Vandenberg en California, Estados Unidos.

220. Bach

Les acerco la Suite N°3 de Johann Sebastian Bach interpretada por la Amsterdam Baroque Orchestra dirigida por Ton Koopman.

219. Sarah Brightman

Una voz extraordinaria.

El video que estaba hasta hace poco aquí desapareció de youtube así que puse éste que también es una maravilla.

218. Otra cultura...

Me he tomado la libertad de copiar aquí un artículo aparecido en la edición digital del diario La Nación:

Por qué no hay saqueos en Japón

Por Mariana Trigo Viera

"Ahora seguro suben los precios de los productos de primera necesidad", me dijo un amigo refiriéndose al desastre que hoy sigue viviendo Japón. "No creo, no los imagino haciendo eso", le contesté. Es que no se manejan de esa manera, frente a una catástrofe de esta magnitud. A ningún japonés se le ocurriría hacer negocio con la tragedia.

Para algunos será difícil de entender y a otros les generará hasta un poco de envidia, pero la realidad es que en Japón no hubo saqueos ni grandes disturbios tras los terremotos y posteriores tsunamis. De hecho, la policía sólo salió a las calles a rescatar ancianos, niños y ayudar a los más damnificados. No fue necesario que marcaran los límites porque cada uno de los ciudadanos tiene bien en claro cuáles son.

La sociedad nipona tiene un pensamiento de tipo grupal y eso es una gran virtud en momentos como este. No hay espacio para el individualismo. La prioridad siempre es el otro y eso lo viví en vivo y en directo muchísimas veces, cuando se desvivían por ayudarme al verme cara de extranjera. Esa manera de pensar es la que los ayuda hoy más que nunca, es la que les permite darse cuenta que si hacen algo que perjudique al otro, se están perjudicando a ellos mismos.

Se me ocurre una pregunta: ¿Sabrán qué quiere decir la palabra "saqueo"? Digo, porque nosotros no necesitamos de un terremoto para experimentarlo. No sé si sabrán qué quiere decir, pero lo que sí saben seguro, es lo que significa vivir una catástrofe. De hecho varias generaciones de japoneses ya las han experimentado.

Pero. ¿dónde aprendieron a ser tan calmos, tan correctos? Me acuerdo que durante mi estadía, esa actitud muchas veces me llegó a poner hasta nerviosa, pero hoy los admiro, y me animaría a decir que no en cualquier otra parte del mundo sucede esto. "Y qué querés, son del primer mundo", me contestarían muchos de ustedes. Creo que esta reacción no tiene que ver exclusivamente con el nivel de confort en el que viven, aunque reconozco que el no pasar hambre influye bastante. El respeto hacia el prójimo en absolutamente todas sus facetas y frente a cualquier escenario es parte de la idiosincrasia japonesa; es como si lo llevaran en su ADN.

Sin embargo, a pesar de haber vivido allá y de creer que los conozco bastante, me sigo sorprendiendo de sus conductas. Hoy Japón tiene problemas muy graves: las continúas réplicas, los tsunamis, la amenaza nuclear, el dolor, el miedo y otras tantas cosas; pero hay algo que tiene a favor y siempre lo tendrán, se tienen a ellos mismos. Mientras cada japonés se comporte en pos del grupo y del bien común, Japón seguirá caminando... y casi sin darse cuenta, nos están dando una lección a muchos de nosotros.

217. Japón

Publicado por Liniers en el diario La Nación.