Les cuento que estuvo publicado aquí, por unos minutos, un problema para resolver pero me di cuenta que debo revisar unos detalles antes de publicarlo efectivamente, cosa que haré mañana jueves 14.
Les pido que tengan unas horas de paciencia.
Gracias.
miércoles, 13 de julio de 2011
lunes, 13 de junio de 2011
222. El volcán Puyehue
Desde hace unos días está en plena erupción el volcán Puyehue, ubicado en el sur de Chile. Esto ha traído muy graves consecuencias a las ciudades y pueblos ubicados relativamente cerca y que se encuentran respecto del volcán en la dirección que sopla el viento por la continua caída de ceniza. A mayores distancias el efecto no es muy notable a simple vista pero provoca la necesidad de suspender el tráfico aéreo debido a que la ceniza suspendida en la atmósfera es abrasiva y tiende a destruir las turbinas de los aviones. Hasta el momento ha habido cierres temporarios de aeropuertos en Chile, Argentina, Uruguay, Brasil y Paraguay. También hay noticias sobre suspensión de vuelos sobre Australia y Nueva Zelanda. En este último caso no tengo todavía datos sobre cómo llegó la ceniza a esos lugares. Ocurre que las partículas más pesadas son las que caen más cerca del punto donde se generan, pero las más livianas pueden llegar a la estratósfera (estratosfera sin acento para algunos de mis lectores...) y ser arrastradas por los fuertes vientos que hay a esas alturas. Como el viento predominantemente va de Oeste a Este en la estratósfera de cualquier lugar del mundo, me pregunto si la nube de ceniza ya dio toda la vuelta y llegó a Australia por el Oeste o, por alguna razón se movió en sentido diferente al habitual y llegó por el Pacífico o cruzando la Antártida. Si algun lector sabe algo me encantaría que lo comentara aquí.
Pueden ver fotos excelentes de la erupción en http://blogs.publico.es/mesadeluz/4195/el-volcan-puyehue
Una de esas fotos, de AFP PHOTO/CLAUDIO SANTANA, la he copiado al comienzo de esta entrada.
Por supuesto, tengo la cámara en el bolsillo por si veo algo interesante aquí. Sólo vemos por ahora un poquito grisáceo el cielo.
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.
sábado, 11 de junio de 2011
221. Satélite argentino
Pueden ver aquí la reseña del reciente lanzamiento del satélite argentino de investigación SAC-D/Aquarius desde la base Vandenberg en California, Estados Unidos.
viernes, 27 de mayo de 2011
220. Bach
Les acerco la Suite N°3 de Johann Sebastian Bach interpretada por la Amsterdam Baroque Orchestra dirigida por Ton Koopman.
jueves, 31 de marzo de 2011
219. Sarah Brightman
Una voz extraordinaria.
El video que estaba hasta hace poco aquí desapareció de youtube así que puse éste que también es una maravilla.
El video que estaba hasta hace poco aquí desapareció de youtube así que puse éste que también es una maravilla.
miércoles, 16 de marzo de 2011
218. Otra cultura...
Me he tomado la libertad de copiar aquí un artículo aparecido en la edición digital del diario La Nación:
Por qué no hay saqueos en Japón
Por Mariana Trigo Viera
"Ahora seguro suben los precios de los productos de primera necesidad", me dijo un amigo refiriéndose al desastre que hoy sigue viviendo Japón. "No creo, no los imagino haciendo eso", le contesté. Es que no se manejan de esa manera, frente a una catástrofe de esta magnitud. A ningún japonés se le ocurriría hacer negocio con la tragedia.
Para algunos será difícil de entender y a otros les generará hasta un poco de envidia, pero la realidad es que en Japón no hubo saqueos ni grandes disturbios tras los terremotos y posteriores tsunamis. De hecho, la policía sólo salió a las calles a rescatar ancianos, niños y ayudar a los más damnificados. No fue necesario que marcaran los límites porque cada uno de los ciudadanos tiene bien en claro cuáles son.
La sociedad nipona tiene un pensamiento de tipo grupal y eso es una gran virtud en momentos como este. No hay espacio para el individualismo. La prioridad siempre es el otro y eso lo viví en vivo y en directo muchísimas veces, cuando se desvivían por ayudarme al verme cara de extranjera. Esa manera de pensar es la que los ayuda hoy más que nunca, es la que les permite darse cuenta que si hacen algo que perjudique al otro, se están perjudicando a ellos mismos.
Se me ocurre una pregunta: ¿Sabrán qué quiere decir la palabra "saqueo"? Digo, porque nosotros no necesitamos de un terremoto para experimentarlo. No sé si sabrán qué quiere decir, pero lo que sí saben seguro, es lo que significa vivir una catástrofe. De hecho varias generaciones de japoneses ya las han experimentado.
Pero. ¿dónde aprendieron a ser tan calmos, tan correctos? Me acuerdo que durante mi estadía, esa actitud muchas veces me llegó a poner hasta nerviosa, pero hoy los admiro, y me animaría a decir que no en cualquier otra parte del mundo sucede esto. "Y qué querés, son del primer mundo", me contestarían muchos de ustedes. Creo que esta reacción no tiene que ver exclusivamente con el nivel de confort en el que viven, aunque reconozco que el no pasar hambre influye bastante. El respeto hacia el prójimo en absolutamente todas sus facetas y frente a cualquier escenario es parte de la idiosincrasia japonesa; es como si lo llevaran en su ADN.
Sin embargo, a pesar de haber vivido allá y de creer que los conozco bastante, me sigo sorprendiendo de sus conductas. Hoy Japón tiene problemas muy graves: las continúas réplicas, los tsunamis, la amenaza nuclear, el dolor, el miedo y otras tantas cosas; pero hay algo que tiene a favor y siempre lo tendrán, se tienen a ellos mismos. Mientras cada japonés se comporte en pos del grupo y del bien común, Japón seguirá caminando... y casi sin darse cuenta, nos están dando una lección a muchos de nosotros.
Por qué no hay saqueos en Japón
Por Mariana Trigo Viera
"Ahora seguro suben los precios de los productos de primera necesidad", me dijo un amigo refiriéndose al desastre que hoy sigue viviendo Japón. "No creo, no los imagino haciendo eso", le contesté. Es que no se manejan de esa manera, frente a una catástrofe de esta magnitud. A ningún japonés se le ocurriría hacer negocio con la tragedia.
Para algunos será difícil de entender y a otros les generará hasta un poco de envidia, pero la realidad es que en Japón no hubo saqueos ni grandes disturbios tras los terremotos y posteriores tsunamis. De hecho, la policía sólo salió a las calles a rescatar ancianos, niños y ayudar a los más damnificados. No fue necesario que marcaran los límites porque cada uno de los ciudadanos tiene bien en claro cuáles son.
La sociedad nipona tiene un pensamiento de tipo grupal y eso es una gran virtud en momentos como este. No hay espacio para el individualismo. La prioridad siempre es el otro y eso lo viví en vivo y en directo muchísimas veces, cuando se desvivían por ayudarme al verme cara de extranjera. Esa manera de pensar es la que los ayuda hoy más que nunca, es la que les permite darse cuenta que si hacen algo que perjudique al otro, se están perjudicando a ellos mismos.
Se me ocurre una pregunta: ¿Sabrán qué quiere decir la palabra "saqueo"? Digo, porque nosotros no necesitamos de un terremoto para experimentarlo. No sé si sabrán qué quiere decir, pero lo que sí saben seguro, es lo que significa vivir una catástrofe. De hecho varias generaciones de japoneses ya las han experimentado.
Pero. ¿dónde aprendieron a ser tan calmos, tan correctos? Me acuerdo que durante mi estadía, esa actitud muchas veces me llegó a poner hasta nerviosa, pero hoy los admiro, y me animaría a decir que no en cualquier otra parte del mundo sucede esto. "Y qué querés, son del primer mundo", me contestarían muchos de ustedes. Creo que esta reacción no tiene que ver exclusivamente con el nivel de confort en el que viven, aunque reconozco que el no pasar hambre influye bastante. El respeto hacia el prójimo en absolutamente todas sus facetas y frente a cualquier escenario es parte de la idiosincrasia japonesa; es como si lo llevaran en su ADN.
Sin embargo, a pesar de haber vivido allá y de creer que los conozco bastante, me sigo sorprendiendo de sus conductas. Hoy Japón tiene problemas muy graves: las continúas réplicas, los tsunamis, la amenaza nuclear, el dolor, el miedo y otras tantas cosas; pero hay algo que tiene a favor y siempre lo tendrán, se tienen a ellos mismos. Mientras cada japonés se comporte en pos del grupo y del bien común, Japón seguirá caminando... y casi sin darse cuenta, nos están dando una lección a muchos de nosotros.
lunes, 14 de marzo de 2011
miércoles, 23 de febrero de 2011
216. Los números primos
Nuestro amigo Víctor plantea en un comentario al párrafo anterior estas interesantes preguntas:
"Tengo entendido que hay matemáticos que se dedican a buscar números primos, lo que me sugiere que la "aparición" de tales números no sigue una pauta regular.
1º ¿Estoy en lo cierto, o, por el contrario, los números primos SI que se encuentran ordenados de forma regular?
2º En caso de que NO sigan una pauta regular: ¿por qué es así?
3º Y por último (para conocer cuál es la mecánica de esa búsqueda): ¿qué procedimiento tendríamos que seguir para encontrar los números primos que existan entre, por ejemplo, los números 4.000 y 14.000?"
Voy a tratar de responder aquí hasta donde yo sé, pero los lectores que deseen proponer sus ideas serán bienvenidos.
Los números primos son aquellos números enteros que no poseen divisores que produzcan un cociente entero y exacto. Obviamente se exceptúa de la regla la división por el mismo número y por el número 1, que siempre producen un número entero. Se llaman compuestos a los enteros que no son primos. Si, por ejemplo, se parte del número 2 y se suma 2 repetidas veces para producir 4, 6, 8, ... todos estos números son compuestos con excepción del primero de la serie que es primo: el 2. El siguiente número, 3, no está en la sucesión anterior (no es múltiplo de 2) y, por lo tanto, es primo. Igual que antes, sumamos 3 repetidas veces para encontrar 6, 9, ... que son todos compuestos salvo el primero (el 3). Ahora el 4 no puede usarse porque está en la sucesión del 2 y hay que pasar al 5, el que por no estar en sucesión anterior alguna, es primo, igual que antes, sumamos... etc etc.
Como se ve, los compuestos están perfectamente ordenados en sucesiones muy fáciles de formar. Los primos serían los "huecos" del conjunto de todas esas sucesiones y nadie conoce un ordenamiento que los incluya en su totalidad. Pero pienso que no hay una razón "de principio" que impida la existencia de un tal ordenamiento. Esto querría decir que propuesto un cierto número (por ejemplo 2011) se podría responder inmediatamente si es o no primo.
Por el momento, saber si un número es primo o no, requiere dividirlo por los primos anteriores... aunque no todos, por lo siguiente: cuando se divide un número por otro para obtener un cociente entero y un "resto" también entero, puede pasar que el cociente sea mayor o menor que el divisor. Por ejemplo: 6 dividido 2 da 3 y 6 dividido 3 da 2. Si el resto ha dado cero para una división con un divisor menor que la raíz cuadrada del número, volverá a dar cero con un divisor mayor que esa raíz cuadrada, y si nunca el resto dio cero con los divisores menores que la raíz cuadrada, nunca dará cero. Entonces basta probar con divisores menores que la raíz cuadrada del número. Para los números del 1 al 100 hay que probar con los divisores 2, 3, 5 y 7 y para los números del 1 al 1000 hay que probar a dividirlos por los primos hasta el 31.
Para lo propuesto por Víctor en su punto 3, habría que probar a dividir los números del 4000 al 14000 por divisores que, para los cercanos al 4000, serían los primos menores que el 61(incluyendo éste) y ya para los cercanos al 14000 habría que extenderse hasta el 113. Por supuesto, se encuentran en Internet tablas de números primos y programitas rápidos que responden si un cierto número es primo o no.
En resumen, no existe un algoritmo "breve" para detectar si un número es primo o no ya que, cuando se proponen números relativamente "grandes", el número de divisores a probar también es "grande" pero, desde luego, los sistemas informáticos realizan este proceso a gran velocidad.
Un inesperado beneficio colateral del estudio de los números primos consiste en que el moderno trabajo sobre claves secretas y encriptación de la información se basa en los teoremas que se han ido obteniendo en ese estudio.
Los interesados en estos temas pueden empezar poniendo en un buscador de Internet, por ejemplo, la frase "Máquina Enigma".
Ilustra esta entrada la excelente foto de una máquina Enigma, tomada por Víctor en el Deutsches Museum de Berlín.
Si algún lector desea agregar algo, como ya dije, es bienvenido.
Saludos a todos.
miércoles, 16 de febrero de 2011
215. Sobre el concurso
Ayer por la tarde recibí en persona una respuesta correcta al concurso del párrafo 214 y le dije a los autores que la subieran al blog. A los pocos minutos eso hicieron e inmediatamente me llegó el correo con el texto del comentario como siempre ocurre. Cuando miro el blog no encuentro ese comentario con la respuesta. A veces ocurre al revés: el comentario está pero el correo de confirmación demora unos minutos, así que decidí esperar un poco a ver qué pasaba. Hoy al mediodía encuentro una respuesta correcta en el blog y también su correo de confirmación, pero de otros autores. ¿Qué ocurrió con el primer comentario? bueno, todos saben que el autor de un comentario puede borrarlo pero queda un mensaje que dice "este comentario ha sido suprimido por el autor" (se entiende que se refiere al autor del comentario). Ahora bien, sólo el autor del blog puede retirar ese mensaje y lograr que el comentario desaparezca definitivamente cosa que, obviamente, yo no hice. Así que decidí transcribir en esta entrada los dos comentarios, tomándolos de mi correo, aunque el segundo como les decía está también en el párrafo anterior.
Por supuesto, felicito a los dos grupos de dos autores y les otorgo a los cuatro el premio correspondiente que es, como se anticipa en el párrafo 204, un "Prestigio Internacional" como importantes y eficientes solucionadores de problemas. Los autores han puesto sus nombres al final de sus propuestas y ahí pueden verlos.
¿A alguno de mis lectores le ha ocurrido anteriormente eso de la inexplicable desaparición de un comentario?
Ah! olvidaba decir que los cuatro autores son excelentes alumnos del Instituto Tecnológico de Buenos Aires y que específicamente han sido alumnos míos en varias oportunidades.
Primera respuesta
Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":
La solucion al acertijo es 4032.
Si se toman los numeros del 4000 al 9999
M C D U
6 9 8 7
Y si tomamos del 10000 al 14000
DM M C D U
1 3 8 7 6
DM decena de millar
M millar
D decena
C centena
U unidad
Sabiendo que cada una de ellas puede tomar los valores indicados mas arriba, se multiplica y se suma 6x9x8x7+1x3x8x7x6 y se obtiene el valor deseado.
4032
Saludos!
Resuelto por:
Santiago Prats
Cristian Greco
Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 19:31
Segunda respuesta
Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":
La respuesta es 4032.
Desde 4000 a 9999:
6 * 9 * 8 * 7 = 9! / 5! = 3024
Desde 10000 a 14000:
1 * 3 * 8 * 7 * 6 = 1008
1008 + 3024 = 4032
Un abrazo Roberto.
Oxoby
Lerendegui
Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 23:39
Por supuesto, felicito a los dos grupos de dos autores y les otorgo a los cuatro el premio correspondiente que es, como se anticipa en el párrafo 204, un "Prestigio Internacional" como importantes y eficientes solucionadores de problemas. Los autores han puesto sus nombres al final de sus propuestas y ahí pueden verlos.
¿A alguno de mis lectores le ha ocurrido anteriormente eso de la inexplicable desaparición de un comentario?
Ah! olvidaba decir que los cuatro autores son excelentes alumnos del Instituto Tecnológico de Buenos Aires y que específicamente han sido alumnos míos en varias oportunidades.
Primera respuesta
Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":
La solucion al acertijo es 4032.
Si se toman los numeros del 4000 al 9999
M C D U
6 9 8 7
Y si tomamos del 10000 al 14000
DM M C D U
1 3 8 7 6
DM decena de millar
M millar
D decena
C centena
U unidad
Sabiendo que cada una de ellas puede tomar los valores indicados mas arriba, se multiplica y se suma 6x9x8x7+1x3x8x7x6 y se obtiene el valor deseado.
4032
Saludos!
Resuelto por:
Santiago Prats
Cristian Greco
Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 19:31
Segunda respuesta
Anónimo ha dejado un nuevo comentario en su entrada "214. ¡A contar!":
La respuesta es 4032.
Desde 4000 a 9999:
6 * 9 * 8 * 7 = 9! / 5! = 3024
Desde 10000 a 14000:
1 * 3 * 8 * 7 * 6 = 1008
1008 + 3024 = 4032
Un abrazo Roberto.
Oxoby
Lerendegui
Publicado por Anónimo para Atisbos de la realidad a las 15 de febrero de 2011 23:39
jueves, 10 de febrero de 2011
214. ¡A contar!
Este nuevo acertijo requiere que el lector determine cuántos números enteros entre el 4000 y el 14000 carecen de cifras repetidas.
Un premio fabuloso aguarda al ganador según el texto del párrafo 204 del blog.
¡Suerte para todos!
Un premio fabuloso aguarda al ganador según el texto del párrafo 204 del blog.
¡Suerte para todos!
miércoles, 2 de febrero de 2011
213. ¡A pensar!
Hace tiempo que los lectores especialistas en Física o Matemática no logran superar a los lectores especialistas en otros temas en la resolución de pequeños acertijos de Física o Matemática. Así que tendrán ahora su oportunidad. Si no la aprovechan... luego no se quejen.
Se desea diseñar un tablero al estilo del tablero de ajedrez, cuadrado y con casillas todas idénticas, también cuadradas.
¿Cuántas casillas en total tendrá un tablero así diseñado, si se exige que (casi exactamente) una de cada seis, o sea el 16,6%, esté en contacto con el borde del tablero?
Los premios a estos concursos se detallan en el párrafo 204.
Mucha suerte para todos.
Se desea diseñar un tablero al estilo del tablero de ajedrez, cuadrado y con casillas todas idénticas, también cuadradas.
¿Cuántas casillas en total tendrá un tablero así diseñado, si se exige que (casi exactamente) una de cada seis, o sea el 16,6%, esté en contacto con el borde del tablero?
Los premios a estos concursos se detallan en el párrafo 204.
Mucha suerte para todos.
lunes, 31 de enero de 2011
212. Misterio...
Hay quienes llevan una libretita en el bolsillo para anotar asuntos que deben recordar. Yo llevo una hojita de papel que doblada en cuatro tiene el tamaño apropiado. Entre otras cosas anoto ahí qué puedo llegar a poner en el blog. El sábado estaba pasando unos pocos renglones a una hojita nueva mientras escuchaba la radio donde había un programa de música. Recuerdo que eran las 21:30, aproximadamente, y yo anotaba: Laura Branigan - Gloria. Luego de las noticias, a las 21:35, el conductor del programa empieza con algo así como (posiblemente leyendo de la wikipedia): una cantante estadounidense... y habla como tres minutos). ¿Que pone al aire? Pues, Laura Branigan - Gloria. Como dicen los matemáticos, probabilidad cero. Pero así fue y todavía no lo puedo creer.
Aquí está, para ustedes.
Gloria
Umberto Tozzi, Giancarlo Bigazzi, Trevor Veitch
Gloria
You're always on the run now
Runnin' after somebody
You've gotta get him somehow
I think you've got to slow down
Before you start to blow it
I think you're headin' for a breakdown
So be careful not to show it
You really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
Don't you think you're falling?
If everybody wants you
Why isn't anybody calling?
You don't have to answer
Leave them hanging on the line
Calling Gloria
Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under
But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
How's it gonna go down?
Will you meet him on the main line?
Or will you catch him on the rebound?
Will you marry for the money?
Take a lover in the afternoon?
Feel your innocence slipping away
Don't believe it's coming back soon
And you really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under
But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Aquí está, para ustedes.
Gloria
Umberto Tozzi, Giancarlo Bigazzi, Trevor Veitch
Gloria
You're always on the run now
Runnin' after somebody
You've gotta get him somehow
I think you've got to slow down
Before you start to blow it
I think you're headin' for a breakdown
So be careful not to show it
You really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
Don't you think you're falling?
If everybody wants you
Why isn't anybody calling?
You don't have to answer
Leave them hanging on the line
Calling Gloria
Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under
But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
How's it gonna go down?
Will you meet him on the main line?
Or will you catch him on the rebound?
Will you marry for the money?
Take a lover in the afternoon?
Feel your innocence slipping away
Don't believe it's coming back soon
And you really don't remember
Was it something that he said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
Gloria
I think they got your number
I think they got the alias
That you've been living under
But you really don't remember
Was it something that they said?
Or the voices in your head calling, Gloria?
lunes, 17 de enero de 2011
jueves, 13 de enero de 2011
miércoles, 5 de enero de 2011
209. La solución
En el párrafo 205 les proponía un acertijo que decía:
"Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden."
Y en uno de los comentarios del párrafo 204 (donde estaba propuesto otro problema) yo les sugería un posible camino para hallar la solución:
"En cierta clase de problemas matemáticos hay algo intermedio entre lo que podríamos llamar "resolver por tanteos" (que es algo legítimo, sin dudas) y "encontrar la fórmula cerrada" (es decir, donde metes el dato y te da el resultado). Esa posibilidad intermedia es "encontrar una relación de recurrencia" es decir, una fórmula que te permita calcular por ejemplo cuántas disposiciones distintas habría para "n" unidades de longitud conocida la cantidad de disposiciones que hay para alguna (O ALGUNAS) de las anteriores: n-1... etc.
Luego de eso se aplicaría la fórmula de recurrencia partiendo de algún valor (O VALORES) conocido/s, generalmente muy pequeño y fácil de calcular por tanteos."
Bueno, sobre la base de esta idea aquí va la solución:
Supongamos que se conocen todas las posibles disposiciones diferentes para cualquier longitud que nos propongamos estudiar pero solo hasta cierto valor "(n-1)". Recordemos que se había adoptado, para simplificar, tomar la unidad de longitud igual a dos metros. Deseamos ahora calcular cuántas disposiciones diferentes habrá para una longitud "n". La idea es pensar cuál sería el último vehículo que colocaríamos:
a) Si es una moto (de 1 unidad de longitud), con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-1) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la moto (que no agrega opciones).
b) Si es un auto (de 2 unidades de longitud), con él puesto obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-2) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia del auto (que no agrega opciones).
c) Si es una camioneta (de 3 unidades de longitud) con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-3) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la camioneta (que no agrega opciones).
En términos matemáticos, si llamamos a la incógnita del problema "a(n)" esto es, el número de disposiciones hasta una longitud "n", se tiene:
a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3), donde el paréntesis representa "asociado con..." o "función de...". Aquí se suman esos valores ya que en el último lugar o bien se pone una moto o un auto o una camioneta.
Como a(1), a(2) y a(3) son fáciles de calcular por tanteos y resultan ser: 1, 2 y 4, se pueden calcular los siguientes haciendo la cuenta, esto es, sumando siempre los tres anteriores.
Y se obtiene: a(4) = 7, a(5) = 13, a(6) = 24, continuando así hasta obtener el valor pedido que es: a(12) = 927.
Si el valor pedido hubiera sido uno muy alejado de los primeros existe para esa posibilidad un método alternativo (mucho más difícil) que da... digamos... automáticamente el valor de a(n) aun si se ignora el valor de los anteriores (pero sí se conoce el de los tres primeros de esa sucesión, claro... porque ellos son los que definen siempre el resultado a obtener).
Para los interesados en saber algo más sobre este tema, les cuento que aquí usé una notación, a(n), que no es la habitual de los libros. Ahí encontrarán simplemente la letra a con el subíndice n para representar los términos de la sucesión, y el título que pueden encontrar es "Sucesiones definidas por recurrencia" o "Ecuaciones de recurrencia".
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.
"Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden."
Y en uno de los comentarios del párrafo 204 (donde estaba propuesto otro problema) yo les sugería un posible camino para hallar la solución:
"En cierta clase de problemas matemáticos hay algo intermedio entre lo que podríamos llamar "resolver por tanteos" (que es algo legítimo, sin dudas) y "encontrar la fórmula cerrada" (es decir, donde metes el dato y te da el resultado). Esa posibilidad intermedia es "encontrar una relación de recurrencia" es decir, una fórmula que te permita calcular por ejemplo cuántas disposiciones distintas habría para "n" unidades de longitud conocida la cantidad de disposiciones que hay para alguna (O ALGUNAS) de las anteriores: n-1... etc.
Luego de eso se aplicaría la fórmula de recurrencia partiendo de algún valor (O VALORES) conocido/s, generalmente muy pequeño y fácil de calcular por tanteos."
Bueno, sobre la base de esta idea aquí va la solución:
Supongamos que se conocen todas las posibles disposiciones diferentes para cualquier longitud que nos propongamos estudiar pero solo hasta cierto valor "(n-1)". Recordemos que se había adoptado, para simplificar, tomar la unidad de longitud igual a dos metros. Deseamos ahora calcular cuántas disposiciones diferentes habrá para una longitud "n". La idea es pensar cuál sería el último vehículo que colocaríamos:
a) Si es una moto (de 1 unidad de longitud), con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-1) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la moto (que no agrega opciones).
b) Si es un auto (de 2 unidades de longitud), con él puesto obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-2) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia del auto (que no agrega opciones).
c) Si es una camioneta (de 3 unidades de longitud) con ella puesta obligadamente en el último lugar, ya tendríamos las numerosas disposiciones que existen para (n-3) unidades de longitud no incrementadas en absoluto por la presencia de la camioneta (que no agrega opciones).
En términos matemáticos, si llamamos a la incógnita del problema "a(n)" esto es, el número de disposiciones hasta una longitud "n", se tiene:
a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3), donde el paréntesis representa "asociado con..." o "función de...". Aquí se suman esos valores ya que en el último lugar o bien se pone una moto o un auto o una camioneta.
Como a(1), a(2) y a(3) son fáciles de calcular por tanteos y resultan ser: 1, 2 y 4, se pueden calcular los siguientes haciendo la cuenta, esto es, sumando siempre los tres anteriores.
Y se obtiene: a(4) = 7, a(5) = 13, a(6) = 24, continuando así hasta obtener el valor pedido que es: a(12) = 927.
Si el valor pedido hubiera sido uno muy alejado de los primeros existe para esa posibilidad un método alternativo (mucho más difícil) que da... digamos... automáticamente el valor de a(n) aun si se ignora el valor de los anteriores (pero sí se conoce el de los tres primeros de esa sucesión, claro... porque ellos son los que definen siempre el resultado a obtener).
Para los interesados en saber algo más sobre este tema, les cuento que aquí usé una notación, a(n), que no es la habitual de los libros. Ahí encontrarán simplemente la letra a con el subíndice n para representar los términos de la sucesión, y el título que pueden encontrar es "Sucesiones definidas por recurrencia" o "Ecuaciones de recurrencia".
Un abrazo a todos desde Buenos Aires.
miércoles, 29 de diciembre de 2010
208. ¡Feliz año nuevo!
Quiero desear a todos mis amigos un excelente año 2011, pleno de felicidad y de éxitos.
Y pleno de un fructífero e inspirador intercambio de ideas, que para eso son los blogs, ¿no?
Un fuerte abrazo para todos.
Y pleno de un fructífero e inspirador intercambio de ideas, que para eso son los blogs, ¿no?
Un fuerte abrazo para todos.
jueves, 23 de diciembre de 2010
207. Angela, nuevamente...
Hoy podemos escuchar nuevamente a Angela Gheorghiu a quien conocimos en el párrafo 193, esta vez cantando "Granada" de Agustín Lara.
Un abrazo a todos los amigos desde Buenos Aires.
Un abrazo a todos los amigos desde Buenos Aires.
lunes, 20 de diciembre de 2010
206. ¡Feliz Navidad!
Les deseo una feliz Navidad a todos mis queridos amigos y les ofrezco algo muy bonito para que escuchen.
Un abrazo para todos desde Buenos Aires.
Un abrazo para todos desde Buenos Aires.
lunes, 6 de diciembre de 2010
205. Para pensar un poco más...
Con respecto al problema planteado en el párrafo anterior debo decir que ya hay un lector muy encaminado en su resolución, como se puede ver en los comentarios.
En esos mismos comentarios les había dicho que luego plantearía un problema más difícil sobre la misma idea.
Pues entonces aqui va:
Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden.
Como pueden ver, el enunciado es muy similar al anterior pero se ha cambiado un número: el 12 por el 24. Esto hace que no sea simple contar todas las configuracones escribiendo cuáles son. Hay que pensar de otro modo y ahí está la dificultad esencial de esta variante. Observen que en los comentarios del párrafo anterior y, gracias a un planteo del lector Antonio, hice una aclaración que quita una cierta ambigüedad que había en el enunciado, léanla.
Como siempre, tengan en cuenta que un premio fabuloso los espera y otro mayor a los ganadores múltiples, como les cuento en el párrafo 204.
Suerte para todos.
En esos mismos comentarios les había dicho que luego plantearía un problema más difícil sobre la misma idea.
Pues entonces aqui va:
Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 24 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden.
Como pueden ver, el enunciado es muy similar al anterior pero se ha cambiado un número: el 12 por el 24. Esto hace que no sea simple contar todas las configuracones escribiendo cuáles son. Hay que pensar de otro modo y ahí está la dificultad esencial de esta variante. Observen que en los comentarios del párrafo anterior y, gracias a un planteo del lector Antonio, hice una aclaración que quita una cierta ambigüedad que había en el enunciado, léanla.
Como siempre, tengan en cuenta que un premio fabuloso los espera y otro mayor a los ganadores múltiples, como les cuento en el párrafo 204.
Suerte para todos.
miércoles, 1 de diciembre de 2010
204. Para pensar...
Les propongo un problema interesante:
Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 12 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber dos cosas: 1) cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden; 2) cuáles son esas configuraciones. Obsérvese que si se define, para simplificar, al valor "dos metros" como la unidad de longitud, una manera de expresar la configuración en la que hay una camioneta en el primer lugar, una moto en el segundo y un auto en el tercero sería: "312", y aquella en la que hay solo dos camionetas: "33". Naturalmente, los dígitos deben sumar seis.
El primero que publique en los comentarios la solución correcta a las dos preguntas obtendrá el premio "Prestigio Internacional".
A partir de ahora, quienes obtengan en la resolución de problemas tres prestigios consecutivos o cinco no consecutivos recibirán el premio especial "Gran Prestigio Internacional" que conlleva, como pueden imaginar, un reconocimiento universal a su capacidad sobresaliente en la resolución de problemas.
¡Suerte para todos!
Supongamos que, de manera aproximada, una moto mide dos metros, un auto, cuatro y una camioneta mediana, seis. Junto a una vereda que mide 12 metros se encuentra estacionado un conjunto de estos vehículos que ocupa, sin dejar huecos, la longitud total. Se desea saber dos cosas: 1) cuántas configuraciones diferentes podrían observarse considerando como diferentes aun a aquellas formadas por la misma cantidad de vehículos de cada clase si se encontraran en diferente orden; 2) cuáles son esas configuraciones. Obsérvese que si se define, para simplificar, al valor "dos metros" como la unidad de longitud, una manera de expresar la configuración en la que hay una camioneta en el primer lugar, una moto en el segundo y un auto en el tercero sería: "312", y aquella en la que hay solo dos camionetas: "33". Naturalmente, los dígitos deben sumar seis.
El primero que publique en los comentarios la solución correcta a las dos preguntas obtendrá el premio "Prestigio Internacional".
A partir de ahora, quienes obtengan en la resolución de problemas tres prestigios consecutivos o cinco no consecutivos recibirán el premio especial "Gran Prestigio Internacional" que conlleva, como pueden imaginar, un reconocimiento universal a su capacidad sobresaliente en la resolución de problemas.
¡Suerte para todos!
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